logo



Pierwsze prawo de Morgana

Teoria I prawo de Morgana:

\sim (p\wedge q)\Leftrightarrow (\sim p)\vee (\sim q)

Powyższe prawo można słownie wyrazić poprzez zdanie:

Zaprzeczenie koniunkcji dwóch zdań logicznych jest równoważne alternatywie zaprzeczeń tych zdań.

Innymi słowy zdanie: nieprawda, że p i q ma taką samą wartość logiczną co: nieprawda, że p lub nieprawda, że q

Przykład Przykład

Zamiast zdania: nieprawda, że Słońce jest planetą i jest osiem razy większe od Jowisza możemy powiedzieć: nieprawda, że Słońce jest planetą lub nieprawda, że Słońce jest osiem razy większe od Jowisza

Teoria Dowód

Aby udowodnić pierwsze prawo de Morgana należy wykazać, że zdania \sim (p\wedge q) oraz (\sim p)\vee (\sim q) są równoważne (mają takie same wartości logiczne). Przeprowadzimy dowód dla wszystkich możliwych wartości logicznych.

Obliczymy najpierw wartości logiczne zdania \sim (p\wedge q)

pq Wyznaczamy wartości iloczynu logicznego zdań p i q p\wedge q Negujemy wyniki z poprzedniej kolumny i otrzymujemy wynik \sim (p\wedge q)
0001
0101
1001
1110

Obliczymy teraz wartości logiczne zdania (\sim p)\vee (\sim q):

pq Negujemy zdania p i q ~ p~ q Sumujemy logicznie zaprzeczenia zdań p i q i otrzymujemy wynik (\sim p)\vee (\sim q)
00111
01101
10011
11000

Widać, że wartości logiczne w ostatnich kolumnach obu tabel są takie same, a zatem wykazaliśmy równoważność zdań \sim (p\wedge q) oraz (\sim p)\vee (\sim q)

© Media Nauka, 2008-05-31, ART00022/45