CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI
Zakładamy, że funkcja f(x) jest określona w otoczeniu punktu x0
Mówimy, że funkcja f(x) jest ciągła w punkcie x0, jeżeli
Zatem funkcja f(x) jest ciągła w punkcie x0 jeżeli:
1) ma w punkcie x0 granicę równą g
2) posiada w punkcie x0 wartość f(x0)
3) granica g równa jest wartości funkcji f(x0)
Sprawdzimy, czy funkcja
W tym celu obliczamy granicę lewostronną i prawostronną:
a następnie lewostronną:
Ponieważ w punkcie x0=1 granice prawostronna i lewostronna nie są sobie równe, to nie istnieje granica w tym punkcie, a funkcja nie jest ciągła w tym punkcie.
Warto jeszcze przyjrzeć się wykresowi tej funkcji, aby móc sobie wyobrazić na czym polega ciągłość lub brak ciągłości funkcji w punkcie.
Zauważ, że w każdym innym punkcie funkcja ta jest ciągła
Jeżeli w danym punkcie funkcja posiada granicę tylko jednostronną, to mówimy o ciągłości jednostronnej (prawostronnej lub lewostronnej).
Funkcja f(x) jest ciągła w przedziale otwartym (a,b), wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągła w każdym punkcie tego przedziału.
Funkcja f(x) jest ciągła w przedziale domkniętym <a,b>, wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągła w przedziale (a,b) oraz jest prawostronnie ciągła w punkcie x0=a i lewostronnie ciągła w punkcie x0=b.
Twierdzenie o ciągłości funkcji elementarnych
Wszystkie funkcje elementarne (wielomiany, funkcje wymierne, wykładnicze, logarytmiczne, trygonometryczne) są ciągłe w swoich dziedzinach
Poniższa ilustracja pokazuje dwie różne funkcje. Jedna z nich jest ciągła, druga nie:
© Media Nauka, 2010-08-29
ART00244/875
Zbadać, czy funkcja
Pokaż rozwiązanie zadaniaDla jakich wartości parametru a funkcja
Sprawdzić, czy funkcja
jest ciągła w zbiorze liczb rzeczywistych.
Sprawdzić, czy funkcja f(x)=|x+1|-x jest ciągła w punkcie x0=-1.
Pobierz aplikację java na telefon komórkowy i miej pod ręką podstawowe wzory trygonometryczne