logo



Działania na potęgach

Teoria Dla każdej pary liczb rzeczywistych a i b oraz liczb naturalnych m i n dodatnich prawdziwe są wzory:

1) a m ∙ a n = a m+n
2) a m : a n = a m-n, dla a ≠ 0 i m>n
3) (a m)n = a m ∙ n
4) a n ∙ b n = (ab) n
5) a n : b n = (a:b) n, dla b ≠ 0

Powyższe wzory są prawdziwe także dla potęg o wykładnikach całkowitych i rzeczywistych (warunek m>n dla wzoru drugiego nie jest już konieczny).

Przykład Przykład

A oto przykłady na zastosowanie pierwszego wzoru:
5 2 ∙ 5 17 = 5 2+17 = 5 19
(⅛) 7 ∙ (⅛) 7 = (⅛) 7+7 = (⅛) 14
(-9) 4 ∙ (-9) 9 = (-9) 4+9 = (-9) 13
5 -20 ∙ 5 20 = 5 -20+20 = 5 0 = 1

A oto przykłady na zastosowanie drugiego wzoru:
5 17 : 5 2 = 5 17-2 = 5 15
5 2 : 5 17 = 5 2-17 = 5 -15 = 1/(5 15)
(⅛) 7 : (⅛) 7 = (⅛) 7-7 = (⅛) 0 = 1
(-3) 7 / (-3) 4 = (-3) 7-4 = (-3) 3 = -27
5 -20 : 5 20 = 5 -20-20 = 5 -40

Przykłady na zastosowanie trzeciego wzoru:
(5 5) 5 = 5 5∙5 = 5 25
(5 -1) 2 = 5 -1∙2 = 5 -2 = 1/25

Przykłady na zastosowanie czwartego wzoru:
3 2 ∙ 2 2 = (3∙2) 2 = 36
5 -2 ∙ 2 -2 = (5∙2) -2 = 1/100 = 0.01
100 57 ∙ 0.01 57 = (100∙0.01) 57 = 1 57 = 1

Przykłady na zastosowanie piątego wzoru:
4 2 : 2 2 = (4:2) 2 = 2 2 = 4
2 -2 : 4 -2 = (2:4) -2 = (1/2) -2 = 2 2 = 4
100 5 : 0.01 5 = (100:0.01) 5 = 10000 5 = (10 4) 5 = 10 20

Przyjrzyjmy się następującemu przykładowi: 5 6 ∙ 6 5.
Ponieważ nie mamy tutaj ani takich samych podstaw ani wykładników potęgi, żaden ze wzorów działań na potęgach nie może być zastosowany.

zadanie Zadanie

Oblicz: 5 7 + 5 5
Ponieważ mamy tutaj takie same podstawy, możemy skorzystać ze wzoru pierwszego, ale "w drugą stronę", to znaczy:
5 7 + 5 5 = 5 5+2 + 5 5 = 5 2 ∙ 5 5 + 5 5 = 5 5(5 2 + 1) = 26 ∙ 5 5

Teoria Szczególną uwagę warto zwrócić na potęgi liczby 10. Zauważmy, że
1 = 10 0
10 = 10 1
100 = 10 2
1000 = 10 3
10000 = 10 4
uogólniając, potęga liczby 10 wskazuje "liczbę zer po jedynce". Zatem dla przykładu 10 20 oznacza liczbę z dwudziestoma zerami, czyli - 100000000000000000000


TeoriaWarto jeszcze zwrócić uwagę na ujemne potęgi liczby 10. Zauważmy, że
0.1 = 10 -1
0.01 = 10 -2
0.001 = 10 -3
0.0001 = 10 -4
uogólniając, potęga ujemna liczby 10 wskazuje "na którym miejscu po przecinku znajduje się jedynka". Zatem dla przykładu 10 -10 oznacza liczbę - 0.0000000001

Reasumując:
Jak wyrazić liczbę za pomocą potęgi?

Zrzut ekranu

Jeżeli działania na potęgach sprawiają ci kłopoty polecam prosty program Potęgi-ćwiczenia , za pomocą którego można przećwiczyć stosowanie zaprezentowanych tutaj wzorów.


© Media Nauka, 2009-01-19, ART00072/144



Zadania

spis treści
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.


zadanie - ikonka Zadanie 1 - Działania na potęgach - Uprościć wyrażenie
Uprościć wyrażenie:
\Large \frac{6^{\frac{4}{3}}\cdot (\frac{3}{8})^{0,25}\cdot 2^{-0,(3)}\cdot (\frac{3}{2})^{\frac{3}{5}}}{2^{\frac{3}{20}}\cdot 3^{\frac{11}{60}}}

zadanie - ikonka Zadanie 2 - Działania na potęgach - Uprość wyrażenie
Uprościć wyrażenie:
\Large \frac{(x^{\frac{1}{4}}+1)(x^{-\frac{1}{4}}-1)}{3x^{\frac{1}{4}}}-\frac{3}{2x^{\frac{3}{4}}}

zadanie - ikonka Zadanie 3 - Działania na potęgach - upraszczanie wyrażeń
Uprościć wyrażenie:
W=[(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}-1][(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}+1]-a^3+\\+x^2+(a^3-x^2)^{-\frac{1}{2}}+a^{\frac{1}{2}}(a^2-\frac{x^2}{a})^{-\frac{1}{2}}+1

zadanie - ikonka Zadanie 4 - Działania na potęgach - Oblicz wartość wyrażenia
Oblicz:
3^2\cdot 9^8\cdot (\frac{1}{3})^{-3}\cdot 27^{-5}\cdot 3^{\frac{1}{3}}\cdot 9^{\frac{1}{3}}

zadanie - ikonka Zadanie 5 - Działania na potęgach - oblicz wartość wyrażenia
Oblicz wartość wyrażenia:
[(\frac{1}{5})^{-\frac{1}{2}}]^4+5\cdot 5^{-2}-(\frac{1}{5^3})^{-1}

zadanie - ikonka Zadanie 6 - Działania na potęgach - Oblicz wartość wyrażenia, korzystając z własności potęg
Oblicz wartość wyrażenia, korzystając z własności potęg:
(5^{-\frac{1}{2}})^{5^{\frac{1}{3}}\cdot 25^{-\frac{2}{3}}}