logo
Szukaj w serwisie:
 
 

Działania na potęgach

Dla każdej pary liczb rzeczywistych a i b oraz liczb naturalnych m i n dodatnich prawdziwe są wzory:

1) a m ∙ a n = a m+n
2) a m : a n = a m-n, dla a ≠ 0 i m>n
3) (a m)n = a m ∙ n
4) a n ∙ b n = (ab) n
5) a n : b n = (a:b) n, dla b ≠ 0

Powyższe wzory są prawdziwe także dla potęg o wykładnikach całkowitych i rzeczywistych (warunek m>n dla wzoru drugiego nie jest już konieczny).

Przykład

A oto przykłady na zastosowanie pierwszego wzoru:
5 2 ∙ 5 17 = 5 2+17 = 5 19
(⅛) 7 ∙ (⅛) 7 = (⅛) 7+7 = (⅛) 14
(-9) 4 ∙ (-9) 9 = (-9) 4+9 = (-9) 13
5 -20 ∙ 5 20 = 5 -20+20 = 5 0 = 1

A oto przykłady na zastosowanie drugiego wzoru:
5 17 : 5 2 = 5 17-2 = 5 15
5 2 : 5 17 = 5 2-17 = 5 -15 = 1/(5 15)
(⅛) 7 : (⅛) 7 = (⅛) 7-7 = (⅛) 0 = 1
(-3) 7 / (-3) 4 = (-3) 7-4 = (-3) 3 = -27
5 -20 : 5 20 = 5 -20-20 = 5 -40

Przykłady na zastosowanie trzeciego wzoru:
(5 5) 5 = 5 5∙5 = 5 25
(5 -1) 2 = 5 -1∙2 = 5 -2 = 1/25

Przykłady na zastosowanie czwartego wzoru:
3 2 ∙ 2 2 = (3∙2) 2 = 36
5 -2 ∙ 2 -2 = (5∙2) -2 = 1/100 = 0.01
100 57 ∙ 0.01 57 = (100∙0.01) 57 = 1 57 = 1

Przykłady na zastosowanie piątego wzoru:
4 2 : 2 2 = (4:2) 2 = 2 2 = 4
2 -2 : 4 -2 = (2:4) -2 = (1/2) -2 = 2 2 = 4
100 5 : 0.01 5 = (100:0.01) 5 = 10000 5 = (10 4) 5 = 10 20

Przyjrzyjmy się następującemu przykładowi:
5 6 ∙ 6 5
Ponieważ nie mamy tutaj ani takich samych podstaw ani wykładników potęgi, żaden ze wzorów działań na potęgach nie może być zastosowany.

Zadanie

Oblicz: 5 7 + 5 5
Ponieważ mamy tutaj takie same podstawy, możemy skorzystać ze wzoru pierwszego, ale "w drugą stronę", to znaczy:
5 7 + 5 5 = 5 5+2 + 5 5 = 5 2 ∙ 5 5 + 5 5 = 5 5(5 2 + 1) = 26 ∙ 5 5

Szczególną uwagę warto zwrócić na potęgi liczby 10. Zauważmy, że
1 = 10 0
10 = 10 1
100 = 10 2
1000 = 10 3
10000 = 10 4
uogólniając, potęga liczby 10 wskazuje "liczbę zer po jedynce". Zatem dla przykładu 10 20 oznacza liczbę z dwudziestoma zerami, czyli - 100000000000000000000


Warto jeszcze zwrócić uwagę na ujemne potęgi liczby 10. Zauważmy, że
0.1 = 10 -1
0.01 = 10 -2
0.001 = 10 -3
0.0001 = 10 -4
uogólniając, potęga ujemna liczby 10 wskazuje "na którym miejscu po przecinku znajduje się jedynka". Zatem dla przykładu 10 -10 oznacza liczbę - 0.0000000001

Reasumując:
Jak wyrazić liczbę za pomocą potęgi?

Zrzut ekranu

Jeżeli działania na potęgach sprawiają ci kłopoty polecam prosty program Potęgi-ćwiczenia , za pomocą którego można przećwiczyć stosowanie zaprezentowanych tutaj wzorów.


© Media Nauka, 2009-01-19, ART00072/144


spis treści
Zadania
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.



Zadanie 1 - Działania na potęgach - Uprościć wyrażenie
Uprościć wyrażenie:
\Large \frac{6^{\frac{4}{3}}\cdot (\frac{3}{8})^{0,25}\cdot 2^{-0,(3)}\cdot (\frac{3}{2})^{\frac{3}{5}}}{2^{\frac{3}{20}}\cdot 3^{\frac{11}{60}}}

Zadanie 2 - Działania na potęgach - Uprość wyrażenie
Uprościć wyrażenie:
\Large \frac{(x^{\frac{1}{4}}+1)(x^{-\frac{1}{4}}-1)}{3x^{\frac{1}{4}}}-\frac{3}{2x^{\frac{3}{4}}}

Zadanie 3 - Działania na potęgach - upraszczanie wyrażeń
Uprościć wyrażenie:
W=[(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}-1][(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}+1]-a^3+\\+x^2+(a^3-x^2)^{-\frac{1}{2}}+a^{\frac{1}{2}}(a^2-\frac{x^2}{a})^{-\frac{1}{2}}+1

Zadanie 4 - Działania na potęgach - Oblicz wartość wyrażenia
Oblicz:
3^2\cdot 9^8\cdot (\frac{1}{3})^{-3}\cdot 27^{-5}\cdot 3^{\frac{1}{3}}\cdot 9^{\frac{1}{3}}

Zadanie 5 - Działania na potęgach - oblicz wartość wyrażenia
Oblicz wartość wyrażenia:
[(\frac{1}{5})^{-\frac{1}{2}}]^4+5\cdot 5^{-2}-(\frac{1}{5^3})^{-1}

Zadanie 6 - Działania na potęgach - Oblicz wartość wyrażenia, korzystając z własności potęg
Oblicz wartość wyrażenia, korzystając z własności potęg:
(5^{-\frac{1}{2}})^{5^{\frac{1}{3}}\cdot 25^{-\frac{2}{3}}}




Poprzedni artykuł  Poprzedni artykuł 
Następny artykuł  Następny artykuł 


Bibliografia
Zgłoś błąd




Menu Matematyka
Słownik matematyczny

Zadania
Testy i quizy
Tablice
Narzędzia

www.e-pomoce.pl - banner
Lekcja: Potęgowanie i działania na potęgach
» Potęgowanie - informacje ogólne
Działania na potęgach
» Test kontrolny

Pozostało...
162 dni do matury 2015
Pozostało...
149 dni do egzaminu gimnazjalnego 2015
Pozostało...
129 dni do sprawdzianu szóstoklasistów 2015

Zamieść link tekstowy do niniejszego artykułu na swojej stronie.