logo
Szukaj w serwisie:
 
 

Dzielenie wielomianów

Wielomiany możemy dzielić przez siebie. Dość często wykonujemy w matematyce to działanie przy okazji rozwiązywania równań i nierówności wielomianowych. Dzielnik wielomianu nie może być wielomianem zerowym, a stopień wielomianu będącym ilorazem jest co najwyżej równy stopniowi niezerowej dzielnej.

Poniższa animacja ilustruje zasadę pisemnego dzielenia wielomianów.


A oto inny przykład

Przykład

\begin{array}{lll} (x^4 - 3x^3 + 3x^2 -4x + 3)&:&(x-1)=x^3-2x^2+x-3\\ \ \underline{x^4-x^3}& & \\ \ \qquad -2x^3+3x^2-4x+3 & & \\
\ \ \ \ \underline{-2x^3+2x^2} & &\\ \qquad \qquad \qquad x^2-4x+3 & & \\ \qquad \qquad \quad \ \underline{x^2-x} & & \\ \ \ \qquad \qquad \qquad \qquad -3x+3 & & \\
\ \qquad \qquad \qquad \qquad \ \underline{-3x+3} & & \\ \ \ \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \qquad \qquad \qquad \qquad 0 & & \end{array}

Twierdzenie o rozkładzie wielomianu

Jeżeli W(x), P(x) są wielomianami i P(x) nie jest wielomianem zerowym, to istnieją takie wielomiany Q(x), R(x), że
W(x)=Q(x)P(x)+R(x)
Wielomian R(x) może być wielomianem zerowym albo jego stopień jest mniejszy od stopnia wielomianu P(x).

Przykład

Poniższy przykład ilustruje dzielenie wielomianów z resztą:

\begin{array}{lll} (x^4-3x^3+x^2-1)&:&(x^2-1)=x^2-3x+2 \\ \ \underline{x^4-x^2} & &  \\ \ \qquad -3x^3+2x^2-1 & & \\ \ \ \ \  \underline{-3x^3+3x} & &\\ \qquad \qquad \qquad 2x^2-3x-1 & & \\ \qquad \qquad \quad \ \underline{2x^2-2}  & & \\ \ \ \qquad \qquad \qquad \qquad -3x+1 & & \\ \end{array}

Otrzymaliśmy resztę z dzielenia i możemy zapisać powyższe działanie zgodnie z przytoczonym twierdzeniem:

(x^4-3x^3+x^2-1)=(x^2-3x+2)(x^2-1)+(-3x+1)

gdzie x^2-1 jest resztą z dzielenia.
Jednak najczęściej wynik zapisujemy w następujący sposób:

(x^4-3x^3+x^2-1):(x^2-1)=x^2-3x+2+\frac{-3x+1}{x^2-1}

© Media Nauka, 2009-08-18, ART00164/284


spis treści
Zadania
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.



Zadanie 62 - dzielenie wielomianów
Dla jakiej wartości parametru a wielomian W(x)=x^3+2x^2-x+a dzieli się bez reszty przez x-1?

Zadanie 161 - dzielenie wielomianów
Wykonać dzielenie: (x^5+x^2-x+1):(x^3-x+1)

Zadanie 162 - dzielenie wielomianów
Wykonać dzielenie: (8x^4-2x^3-5x^2-13x-3):(x^2+x+1)

Zadanie 163 - dzielenie wielomianów
Wykonać dzielenie: (x^{10}-1):(x^2+1)

Zadanie 164 - dzielenie wielomianów
Wykonać dzielenie: (8x^3+18x^2-9x-8):(x+\frac{1}{2})

Zadanie 165 - dzielenie wielomianów
Wykonać dzielenie: (x^4-2\sqrt{2}x^3-2x^2+8\sqrt{2}x-8):(x-\sqrt{2})




Poprzedni artykuł  Poprzedni artykuł 
Następny artykuł  Następny artykuł 


Bibliografia
Zgłoś błąd



Lekcja: Działania na wielomianach
» Dodawanie i odejmowanie wielomianów
» Mnożenie (iloczyn) wielomianów
Dzielenie wielomianów
» Rozkład wielomianu na czynniki
» Test kontrolny

Pozostało...
73 dni do wakacji 2014
Pozostało...
7 dni do egzaminu gimnazjalnego 2014
Pozostało...
19 dni do matury 2014

Zamieść link tekstowy do niniejszego artykułu na swojej stronie.