logo



Dzielenie wielomianów

Teoria Wielomiany możemy dzielić przez siebie. Dość często wykonujemy w matematyce to działanie przy okazji rozwiązywania równań i nierówności wielomianowych. Dzielnik wielomianu nie może być wielomianem zerowym, a stopień wielomianu będącym ilorazem jest co najwyżej równy stopniowi niezerowej dzielnej.

Poniższa animacja ilustruje zasadę pisemnego dzielenia wielomianów.



A oto inny przykład

Przykład Przykład

\\begin{array}{lll} (x^4 - 3x^3 + 3x^2 -4x + 3)&:&(x-1)=x^3-2x^2+x-3\\\\ \\ \\underline{x^4-x^3}& & \\\\ \\ \\qquad -2x^3+3x^2-4x+3 & & \\\\\n\\ \\ \\ \\ \\underline{-2x^3+2x^2} & &\\\\ \\qquad \\qquad \\qquad x^2-4x+3 & & \\\\ \\qquad \\qquad \\quad \\ \\underline{x^2-x} & & \\\\ \\ \\ \\qquad \\qquad \\qquad \\qquad -3x+3 & & \\\\\n\\ \\qquad \\qquad \\qquad \\qquad \\ \\underline{-3x+3} & & \\\\ \\ \\ \\qquad \\qquad \\qquad \\qquad \\quad \\qquad \\qquad \\qquad \\qquad 0 & & \\end{array}

twierdzenie Twierdzenie o rozkładzie wielomianu

Jeżeli W(x), P(x) są wielomianami i P(x) nie jest wielomianem zerowym, to istnieją takie wielomiany Q(x), R(x), że
W(x)=Q(x)P(x)+R(x)
Wielomian R(x) może być wielomianem zerowym albo jego stopień jest mniejszy od stopnia wielomianu P(x).

Przykład Przykład

Poniższy przykład ilustruje dzielenie wielomianów z resztą:

\\begin{array}{lll} (x^4-3x^3+x^2-1)&:&(x^2-1)=x^2-3x+2 \\\\ \\ \\underline{x^4-x^2} & &  \\\\ \\ \\qquad -3x^3+2x^2-1 & & \\\\ \\ \\ \\ \\  \\underline{-3x^3+3x} & &\\\\ \\qquad \\qquad \\qquad 2x^2-3x-1 & & \\\\ \\qquad \\qquad \\quad \\ \\underline{2x^2-2}  & & \\\\ \\ \\ \\qquad \\qquad \\qquad \\qquad -3x+1 & & \\\\ \\end{array}

Otrzymaliśmy resztę z dzielenia i możemy zapisać powyższe działanie zgodnie z przytoczonym twierdzeniem:

(x^4-3x^3+x^2-1)=(x^2-3x+2)(x^2-1)+(-3x+1)

gdzie x^2-1 jest resztą z dzielenia.
Jednak najczęściej wynik zapisujemy w następujący sposób:

(x^4-3x^3+x^2-1):(x^2-1)=x^2-3x+2+\\frac{-3x+1}{x^2-1}

© Media Nauka, 2009-08-18, ART00164/284



Zadania

spis treści
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.


zadanie - ikonka Zadanie 62 - dzielenie wielomianów
Dla jakiej wartości parametru a wielomian W(x)=x^3+2x^2-x+a dzieli się bez reszty przez x-1?

zadanie - ikonka Zadanie 161 - dzielenie wielomianów
Wykonać dzielenie:
a) (x^5+x^2-x+1):(x^3-x+1)
b) (8x^4-2x^3-5x^2-13x-3):(x^2+x+1)
c) (x^{10}-1):(x^2+1)
d) (8x^3+18x^2-9x-8):(x+\frac{1}{2})
e) (x^4-2\sqrt{2}x^3-2x^2+8\sqrt{2}x-8):(x-\sqrt{2})