Podobieństwo

Co to jest podobieństwo i kiedy figury są podobne? Oto definicja podobieństwa figur.

Podobieństwo w skali \(k\) jest to przekształcenie płaszczyzny na płaszczyznę, które zmienia odległość każdych dwóch punktów w stosunku\(k\): \(|A''B''|=k|A''B''|\).

Własności podobieństwa

Figury podobne

Dwie figury nazywamy podobnymi, gdy istnieje podobieństwo, które przekształca jedną figurę w drugą. Figury podobne oznaczamy następująco: \(f\sim f '\).

Twierdzenie

Wieloboki podobne mają boki proporcjonalne, a kąty odpowiednio równe.

Podobieństwo figur, figury podobne - kąty

\(\frac{a'}{a}=\frac{b'}{b}=\frac{c'}{c}=\frac{d'}{d}\)

\(\alpha=\alpha', \beta=\beta',\ \gamma=\gamma', \delta=\delta'\)

Trójkąty podobne

Dwa trójkąty są podobne, jeżeli spełniony jest którykolwiek z warunków:

Cecha BBB (bok-bok-bok)

Trzy boki jednego trójkąta są proporcjonalne do trzech boków drugiego trójkąta.

Cechy podobieństwa trójkątów

\(\frac{a'}{a}=\frac{b'}{b}=\frac{c'}{c}\)

Cecha BKB (bok-kąt-bok)

Dwa boki jednego trójkąta są proporcjonalne do dwóch boków drugiego trójkąta oraz kąty zawarte między tymi bokami są równe.

Cecha BKB (bok-kąt-bok)

\(\frac{a'}{a}=\frac{b'}{b}, \alpha=\alpha'\)

Cecha KK (kąt-kąt)

Dwa kąty jednego trójkąta są odpowiednio równe dwom kątom drugiego trójkąta.

Cecha KK (kąt-kąt)

\(\alpha=\alpha', \beta=\beta'\)

Cecha podobieństwa wielokątów

Dwa \(n\)-kąty wypukłe są podobne, jeżeli wierzchołki jednego z nich można przyporządkować wierzchołkom drugiego tak, że \(n-1\) kolejnych boków w jednym wielokącie i \(n-1\) kolejnych boków w drugim wielokącie są proporcjonalne, zaś \(n-2\) kolejnych kątów zawartych między tymi bokami w jednym wielokącie i odpowiadające im kąty w drugim wielokącie są parami równe.

Cecha podobieństwa wielokątów

\(\frac{a'}{a}=\frac{b'}{b}=\frac{c'}{c}\)

\(\alpha=\alpha', \beta=\beta'\)

Inne cechy podobieństwa figur:

Pytania

Czym się różni podobieństwo od jednokładności?

Każde podobieństwo jest złożeniem pewnej jednokładności z pewną izometrią i złożenie dowolnej jednokładności z dowolną izometrią jest podobieństwem.

Mówiąc inaczej, figury jednokładne mają odpowiednie odcinki równoległe. W przypadku figur podobnych ten warunek nie musi być spełniony. Każde dwie figury jednokładne są figurami podobnymi, natomiast figury podobne nie zawsze są jednokładne.

Ćwiczenia

Ćwiczenia interakcyjne pomogą przygotować się na sprawdzian, test, egzamin, a ponadto usystematyzują wiedzę z danej dziedziny. To także świetny trening do matury. Wiele ćwiczeń to dobre zadania maturalne.



Zadania z rozwiązaniami

zadanie maturalne

Zadanie nr 1 — maturalne.

Przedstawione na rysunku trójkąty \(ABC\) i \(PQR\) są podobne. Bok \(AB\) trójkąta \(ABC\) ma długość

zadanie maturalne 16/2016

A. 8

B. 8,5

C. 9,5

D. 10

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 2 — maturalne.

Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\). Na przyprostokątnych \(AC\) i \(AB\) tego trójkąta obrano odpowiednio punkty \(D\) i \(G\). Na przeciwprostokątnej \(BC\) wyznaczono punkty \(E\) i \(F\) takie, że \(|\angle DEC|=|\angle BGF|=90°\) (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąt \(CDE\) jest podobny do trójkąta \(FBG\).

Ilustracja do zadania 29, matura 2016, poziom podstawowy

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 3 — maturalne.

Jeżeli trójkąty \(ABC\) i \(A'B'C'\) są podobne, a ich pola są, odpowiednio, równe 25 cm2 i 50 cm2, to skala podobieństwa \(\frac{A'B'}{AB}\) jest równa:

A. \(2\)

B. \(\frac{1}{2}\)

C. \(\sqrt{2}\)

D. \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 4 — maturalne.

W trójkącie \(ABC\) punkt \(D\) leży na boku \(BC\), a punkt \(E\) leży na boku \(AB\). Odcinek \(DE\) jest równoległy do boku \(AC\), a ponadto \(|BD|=10, |BC|=12\) i \(|AC|=24\) (zobacz rysunek).

A. \(m=22\)

B. \(m=20\)

C. \(m=12\)

D. \(m=11\)

Długość odcinka DE jest równa

Rysunek

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 5 — maturalne.

Dany jest trójkąt o bokach długości: \(2\sqrt{5}, 3\sqrt{5}. 4\sqrt{5}\). Trójkątem podobnym do tego trójkąta jest trójkąt, którego boki mają długości:

A. \(10, 15, 20\)

B. \(20, 45, 80\)

C. \(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4}\)

D. \(\sqrt{5}, 2\sqrt{5}, 3\sqrt{5}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 6 — maturalne.

Dane są dwa okręgi: okrąg o środku w punkcie \(O\) i promieniu \(5\) oraz okrąg o środku w punkcie \(P\) i promieniu \(3\). Odcinek \(OP\) ma długość \(16\). Prosta \(AB\) jest styczna do tych okręgów w punktach \(A\) i \(B\). Ponadto prosta \(AB\) przecina odcinek \(OP\) w punkcie \(K\) (zobacz rysunek).

Rysunek

Wtedy

A. \(|OK|=6\)

B. \(|OK|=8\)

C. \(|OK|=10\)

D. \(|OK|=12\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 7 — maturalne.

Trójkąt \(ABC\) jest równoboczny. Punkt \(E\) leży na wysokości \(CD\) tego trójkąta oraz \(|CE|=\frac{3}{4}|CD|\). Punkt \(F\) leży na boku \(BC\) i odcinek \(EF\) jest prostopadły do \(BC\) (zobacz rysunek).

Rysunek do zadania 29, matura 2020

Wykaż, że \(|CF|=\frac{9}{16}|CB|\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 8 — maturalne.

Trójkąt równoboczny \(ABC\) ma pole równe \(9\sqrt{3}\). Prosta równoległa do boku \(BC\) przecina boki \(AB\) i \(AC\) — odpowiednio — w punktach \(K\) i \(L\). Trójkąty \(ABC\) i \(AKL\) są podobne, a stosunek długości boków tych trójkątów jest równy \(\frac{3}{2}\). Oblicz długość boku trójkąta \(AKL\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 9 — maturalne.

Dany jest trójkąt równoramienny \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Dwusieczna kąta \(BAC\) przecina bok \(BC\) w takim punkcie \(D\), że trójkąty \(ABC\) i \(BDA\) są podobne (zobacz rysunek). Oblicz miarę kąta \(BAC\).

matura z matematyki 2022, zadanie 33

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 10 — maturalne.

Trójkąty prostokątne \(T_1\) i \(T_2\) są podobne. Przyprostokątne trójkąta \(T_1\) mają długości 5 i 12. Przeciwprostokątna trójkąta \(T_2\) ma długość 26. Oblicz pole trójkąta \(T_2\). Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie zadania.





Inne zagadnienia z tej lekcji


© medianauka.pl, 2010-12-04, A-1040
Data aktualizacji artykułu: 2023-07-19



©® Media Nauka 2008-2023 r.