logo
Szukaj w serwisie:
 
 

Funkcje trygonometryczne kąta ostrego

Niech dany będzie trójkąt prostokątny, zilustrowany poniższym rysunkiem:

SINUS

Definicja

Sinus kąta ostrego jest to stosunek przyprostokątnej przeciwległej kątowi ostremu \alpha do przeciwprostokątnej.

\sin{\alpha}=\frac{przyprostokatna\ przeciwlegla}{przeciwprostokatna}=\frac{a}{c}

Zapiszemy teraz funkcję sinus dla kąta \beta, używając powyższej definicji: \sin{\beta}=\frac{b}{c}.

COSINUS

Definicja

Cosinus kąta ostrego (czytaj: kosinus) jest to stosunek przyprostokątnej przyległej do kąta ostrego \alpha do przeciwprostokątnej.

\cos{\alpha}=\frac{przyprostokatna\ przylegla}{przeciwprostokatna}=\frac{b}{c}

Zapiszemy teraz funkcję cosinus dla kąta \beta, używając powyższej definicji: \cos{\beta}=\frac{a}{c}.

TANGENS

Definicja

Tangens kąta ostrego jest to stosunek przyprostokątnej przeciwległej kątowi ostremu \alpha do przyprostokątnej przyległej.

tg{\alpha}=\frac{przyprostokatna\ przeciwlegla}{przyprostokatna\  przylegla}=\frac{a}{b}

Zapiszemy teraz funkcję tangens dla kąta \beta, używając powyższej definicji: tg{\beta}=\frac{b}{a}.
Czasem dla oznaczenia tangensa używa się skrótów: tan, tang.

COTANGENS

Definicja

Cotangens (czytaj kotangens) kąta ostrego jest to stosunek przyprostokątnej przyległej do kąta ostrego \alpha do przyprostokątnej przeciwległej.

ctg{\alpha}=\frac{przyprostokatna\ przylegla}{przyprostokatna\  przeciwlegla}=\frac{b}{a}

Zapiszemy teraz funkcję cotangens dla kąta \beta, używając powyższej definicji: ctg{\beta}=\frac{a}{b}.
Czasem dla oznaczenia cotangensa używa się skrótów: ctn, cot.

SECANS

Definicja

Secans (czytaj sekans) kąta ostrego jest to stosunek przeciwprostokątnej do przeciwprostokątnej przyległej kąta ostrego \alpha.

sec{\alpha}=\frac{przeciwprostokatna}{przyprostokatna\  przylegla}=\frac{c}{b}

Zapiszemy teraz funkcję secans dla kąta \beta, używając powyższej definicji: sec{\beta}=\frac{c}{a}.

COSECANS

Definicja

Cosecans (czytaj kosekans) kąta ostrego jest to stosunek przeciwprostokątnej do przyprostokątnej przeciwległej kątowi ostremu \alpha.

cosec{\alpha}=\frac{przeciwprostokatna}{przyprostokatna\  przeciwlegla}=\frac{c}{a}

Zapiszemy teraz funkcję cosecans dla kąta \beta, używając powyższej definicji: cosec{\beta}=\frac{c}{b}.
Czasem dla oznaczenia cotangensa używa się skrótu: csc.

Poniższa tabela przedstawia wartości funkcji trygonometrycznych dla często używanych miar kątów:

\alpha30°45°60°90°
\sin{\alpha}0\frac{1}{2}\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{3}}{2}1
\cos{\alpha}1\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{1}{2}0
tg{\alpha}0\frac{\sqrt{3}}{3}1\sqrt{3}-
ctg{\alpha}-\sqrt{3}1\frac{\sqrt{3}}{3}0

Zauważamy, że:

ctg\alpha=\frac{1}{tg\alpha},\  sec\alpha=\frac{1}{\cos{\alpha}}, \ cosec\alpha=\frac{1}{sin\alpha}

Wynika to wprost z definicji tych funkcji trygonometrycznych.

Głównym celem definiowania funkcji trygonometrycznych jest rozwiązywanie trójkątów, to znaczy wyznaczanie wszystkich jego boków i kątów. Poniżej prosty przykład zastosowania funkcji trygonometrycznej:

Przykład

Chłopiec stoi w odległości 100 m od latarni, którą widzi pod kątem 30°. Jaka jest wysokość latarni?

zastosowanie funkcji trygonometrycznych

Korzystamy z definicji tangensa kąta ostrego:

tg{30^o}=\frac{h}{100 m}/\cdot 100m\\ h=tg30^o\cdot 100m\\ h=\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot 100m\\ h\approx 57,7 m

© Media Nauka, 2011-03-22, ART00340/1255


spis treści
Zadania
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.



Zadanie 723 - funkcje trygonometryczne
Dany jest trójkąt równoramienny o podstawie długości a, ramionach długości b, kątami wewnętrznymi przy podstawie trójkąta \beta oraz \alpha przy wierzchołku trójkąta z którego opada wysokość h na podstawę trójkąta. Zapisać podstawowe funkcje trygonometryczne dla katów: \beta, \frac{\alpha}{2}.

Zadanie 724 - funkcje trygonometryczne
Dany jest trójkąt prostokątny równoramienny o przyprostokątnej długości a=\sqrt{2}. Oblicz długość podstawy korzystając z funkcji trygonometrycznych.

Zadanie 725 - funkcje trygonometryczne
Obliczyć długość podstawy prostokąta, jeżeli przekątna o długości d=2\sqrt{3} tworzy z podstawą kąt \alpha=30^o.

Zadanie 726 - funkcje trygonometryczne
Obliczyć promień R okręgu opisanego na sześciokącie foremnym, jeżeli wiadomo, że długość promienia wpisanego w ten wielokąt r=2.




Następny artykuł  Następny artykuł 


Bibliografia
Zgłoś błąd




Menu Matematyka
Słownik matematyczny

Zadania
Testy i quizy
Tablice
Narzędzia

www.e-pomoce.pl - banner
Lekcja: Funkcje trygonometryczne
Funkcje trygonometryczne: sinus, cosinus, tangens, cotangens
» Sinus, cosinus, tangens, cotangens 0, 30, 45, 60, 90 stopni
» Funkcje trygonometryczne kąta skierowanego
» Funkcje trygonometryczne zmiennej rzeczywistej

Pozostało...
226 dni do matury 2015
Pozostało...
213 dni do egzaminu gimnazjalnego 2015
Pozostało...
193 dni do sprawdzianu szóstoklasistów 2015

Zamieść link tekstowy do niniejszego artykułu na swojej stronie.