Media Nauka - Funkcje trygonometryczne: sinus, cosinus, tangens, cotangens

Serwis Media Nauka

Start

Strona główna /

matematyka /

Geometria /

Trygonometria /

Funkcje trygonometryczne

FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA OSTREGO

Niech dany będzie trójkąt prostokątny, zilustrowany poniższym rysunkiem:

SINUS

sinus kąta ostrego jest to stosunek przyprostokątnej przeciwległej kątowi ostremu $funkcje trygonometryczne sinus cosinus tangens cotangens$ do przeciwprostokątnej.

$\sin{\alpha}=\frac{przyprostokatna\ przeciwlegla}{przeciwprostokatna}=\frac{a}{c}$

Zapiszemy teraz funkcję sinus dla kąta $\beta$ , używając powyższej definicji: $\sin{\beta}=\frac{b}{c}$

COSINUS

cosinus kąta ostrego (czytaj: kosinus) jest to stosunek przyprostokątnej przyległej do kąta ostrego $\alpha$ do przeciwprostokątnej.

$\cos{\alpha}=\frac{przyprostokatna\ przylegla}{przeciwprostokatna}=\frac{b}{c}$

Zapiszemy teraz funkcję cosinus dla kąta $\beta$ , używając powyższej definicji: $\cos{\beta}=\frac{a}{c}$

TANGENS

tangens kąta ostrego jest to stosunek przyprostokątnej przeciwległej kątowi ostremu $\alpha$ do przyprostokątnej przyległej.

$tg{\alpha}=\frac{przyprostokatna\ przeciwlegla}{przyprostokatna\ przylegla}=\frac{a}{b}$

Zapiszemy teraz funkcję tangens dla kąta $\beta$ , używając powyższej definicji: $tg{\beta}=\frac{b}{a}$ .
Czasem dla oznaczenia tangensa używa się skrótów: tan, tang

COTANGENS

cotangens (czytaj kotangens) kąta ostrego jest to stosunek przyprostokątnej przyległej do kąta ostrego $\alpha$ do przyprostokątnej przeciwległej.

$ctg{\alpha}=\frac{przyprostokatna\ przylegla}{przyprostokatna\ przeciwlegla}=\frac{b}{a}$

Zapiszemy teraz funkcję cotangens dla kąta $\beta$ , używając powyższej definicji: $ctg{\beta}=\frac{a}{b}$ .
Czasem dla oznaczenia cotangensa używa się skrótów: ctn, cot

SECANS

secans (czytaj sekans) kąta ostrego jest to stosunek przeciwprostokątnej do przeciwprostokątnej przyległej kąta ostrego $\alpha$

$sec{\alpha}=\frac{przeciwprostokatna}{przyprostokatna\ przylegla}=\frac{c}{b}$

Zapiszemy teraz funkcję secans dla kąta $\beta$ , używając powyższej definicji: $sec{\beta}=\frac{c}{a}$ .

COSECANS

cosecans (czytaj kosekans) kąta ostrego jest to stosunek przeciwprostokątnej do przyprostokątnej przeciwległej kątowi ostremu $\alpha$

$cosec{\alpha}=\frac{przeciwprostokatna}{przyprostokatna\ przeciwlegla}=\frac{c}{a}$

Zapiszemy teraz funkcję cosecans dla kąta $\beta$ , używając powyższej definicji: $cosec{\beta}=\frac{c}{b}$ .
Czasem dla oznaczenia cotangensa używa się skrótu: csc.

Poniższa tabela przedstawia wartości funkcji trygonometrycznych dla często używanych miar kątów:

$\alpha$	0^o	30^o	45^o	60^o	90^o
$\sin{\alpha}$	0	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	1
$\cos{\alpha}$	1	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	0
$tg{\alpha}$	0	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	1	$\sqrt{3}$	-
$ctg{\alpha}$	-	$\sqrt{3}$	1	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	0

Zauważamy, że:

$ctg\alpha=\frac{1}{tg\alpha},\ sec\alpha=\frac{1}{\cos{\alpha}}, \ cosec\alpha=\frac{1}{sin\alpha}$

Wynika to wprost z definicji tych funkcji trygonometrycznych.

Głównym celem definiowania funkcji trygonometrycznych jest rozwiązywanie trójkątów, to znaczy wyznaczanie wszystkich jego boków i kątów. Poniżej prosty przykład zastosowania funkcji trygonometrycznej:

Chłopiec stoi w odległości 100 m od latarni, którą widzi pod kątem 30^o. Jaka jest wysokość latarni?

Korzystamy z definicji tangensa kąta ostrego:

$tg{30^o}=\frac{h}{100 m}/\cdot 100m\\ h=tg30^o\cdot 100m\\ h=\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot 100m\\ h\approx 57,7 m$

Dany jest trójkąt równoramienny o podstawie długości a, ramionach długości b, kątami wewnętrznymi przy podstawie trójkąta $\beta$ oraz $\alpha$ przy wierzchołku trójkąta z którego opada wysokość h na podstawę trójkąta. Zapisać podstawowe funkcje trygonometryczne dla katów: $\beta, \frac{\alpha}{2}$

lupa Pokaż rozwiązanie zadania

Dany jest trójkąt prostokątny równoramienny o przyprostokątnej długości $a=\sqrt{2}$ . Oblicz długość podstawy korzystając z funkcji trygonometrycznych.

lupa Pokaż rozwiązanie zadania

Obliczyć długość podstawy prostokąta, jeżeli przekątna o długości $d=2\sqrt{3}$ tworzy z podstawą kąt $\alpha=30^o$ .

lupa Pokaż rozwiązanie zadania

Obliczyć promień R okręgu opisanego na sześciokącie foremnym, jeżeli wiadomo, że długość promienia wpisanego w ten wielokąt r=2.

lupa Pokaż rozwiązanie zadania

Artykuły powiązane:

Określenie funkcji trygonometrycznych dla kąta skierowanego (uogólnienie funkcji trygonometrycznych)

Wzory z trygonometrii na komórkę

ikona

Pobierz aplikację java na telefon komórkowy i miej pod ręką podstawowe wzory trygonometryczne

Bibliografia Kontakt Reklama Regulaminy