GRANICA CIĄGU - DEFINICJA

Definicja granicy ciągu wymaga zrozumienia pojęcia otoczenia punktu oraz wygodnie jest posłużyć się zwrotem prawie wszystkich wyrazów ciągu nieskończonego.
Prawie wszystkie wyrazy ciągu to wszystkie wyrazy ciągu z wyjątkiem co najwyżej skończonej ich liczby.

Dany jest ciąg (1,2,3,4,5,...)

• Wszystkie wyrazy ciągu większe od 100, to prawie wszystkie wyrazy tego ciągu.
• Wszystkie wyrazy ciągu z wyjątkiem liczb 10,11,12,13,...,100000 to prawie wszystkie wyrazy ciągu.

Przykładami prawie wszystkich wyrazów ciągu nie są:

• wszystkie wyrazy ciągu mniejsze od 100.
• wszystkie wyrazy ciągu z wyjątkiem liczb 2,4,6,8,...

ponieważ wykluczamy z ciągu nieskończoną liczbę wyrazów.

---

Zrozumienie definicji granicy ciągu jest trudne do zrozumienia, chociaż intuicyjne podejście do pojęcia granicy nie jest trudne. Dlatego zaczniemy od przykładu.

Dany jest ciąg .
Wypiszmy jego wyrazy i sporządźmy wykres tego ciągu.

Bez trudu zauważamy, że im większe n tym wyrazy a_n są bliższe wartości 1. Mówimy, że ciąg jest zbieżny do 1 lub że jego granicą przy n dążącym do nieskończoności jest liczba 1, możemy też powiedzieć, że a_n dąży do 1, gdy n dąży do nieskończoności.

Zajmijmy się teraz definicją granicy ciągu. Oto ona

Liczba g jest granicą ciągu (a_n) (granicę oznaczamy symbolem ) jeżeli spełniony jest warunek

Powyższy wzór możemy przeczytać następująco: "Liczba g jest granicą ciągu (a_n) przy n dążącym do nieskończoności jeżeli dla każdego istnieje taka liczba n₀, że dla każdego n > n₀ spełniona jest nierówność

Symbol lim czytamy jako limes, jest słowo greckiego pochodzenia, oznaczające granicę.
Symbol czytamy następująco: "granicą ciągu a_n przy n dążącym do nieskończoności jest liczba g".

---

Jeśli przypomnimy sobie pojęcia otoczenia punktu i prawie wszystkich wyrazów ciągu, to powyższa definicja powinna się wydawać bardziej zrozumiała.
Otóż widać, że to promień otoczenia punktu g, a wyrazy ciągu a_n należą do tego otoczenia.

Możemy więc powiedzieć, że liczba g jest granicą ciągu, jeżeli dla dowolnego otoczenia punktu g prawie wszystkie wyrazy tego ciągu (wszystkie dla n większego od n₀) należą do tego otoczenia.

Jeszcze lepiej widać to na ilustracji.

Zaznaczyliśmy na wykresie przykładowe otoczenie punktu g = 1 i widać, że istnieje takie n₀, że dla kolejnych n większych od n₀ prawie wszystkie wyrazy a_n należą do otoczenia tego punktu - punkty (n, a_n) znajdują się do zakreskowanej części wykresu. Widać tez, że dotyczy to każdego otoczenia tego punktu. Stąd możemy napisać, że:

© Media Nauka, 2009-08-29
ART00190/310