Iloczyn

Co to jest iloczyn i mnożenie?

Mnożenie jest jednym z czterech podstawowych działań arytmetycznych.

Iloczyn jest to wynik mnożenia.

Symbol mnożenia

Symbolem tego działania dla liczb jest „∙” (kropka) lub symbol ten jest pomijany w ogóle, najczęściej w wyrażeniach takich jak: \(2x, 45a, -xy, 2(x+1), (x+1)(y-1)\) itp. Czasem też będziemy oznaczać iloczyn przez „x” lub „*”.

Dla mnożenia zbiorów używamy symbolu „∩”. Iloczyn wektorowy oznaczamy symbolem „×”, iloczyn skalarny wektorów oznaczamy symbolem „\(\circ\)”. Iloczyn logiczny oznaczamy symbolem „∧”

Iloczyn a suma

Iloczyn liczb naturalnych można sprowadzić do sumy.

Przykłady

Działanie 44∙37 oznacza, że 37 razy należy dodać do siebie liczbę 44 albo 44 razy należy dodać do siebie liczbę 37.
Inny przykład: 26∙5 = 26 + 26 + 26 + 26 + 26.

Mnożna i mnożnik — czynniki iloczynu

Mnożna jest to liczba, którą mnożymy przez drugą liczbę. Mnożnik to liczba, przez którą mnożymy pierwszą liczbę. Mnożna i mnożnik to czynniki iloczynu. Iloczyn jest to wynik mnożenia.

Własności mnożenia

Mnożenie charakteryzuje się pewnymi własnościami:

Prawo łączności mnożenia

\((a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)\)

Prawo to oznacza, że iloczyn nie zależy od porządku czynników. Mówimy, że mnożenie jest łączne.

Przykłady

\((2\cdot 3)\cdot 4=6\cdot 4=24\)

\(2\cdot (3\cdot 4)=2\cdot 12=24\)

Prawo przemienności mnożenia

\(a\cdot b=b\cdot a\)

Mówimy, że mnożenie jest przemienne.

Przykłady

\(2\cdot 3=3\cdot 2=6\)
\(2x=c\cdot 2\)

Prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania

\((a+b) \cdot c=a \cdot c+b\cdot c\)

Mówimy, że mnożenie jest rozdzielne względem dodawania.

Przykłady

\((2+3)\cdot 4=5\cdot 4=20\)

\((2+3)\cdot 4=2\cdot 4+3\cdot 4=8+12=20\)

Element neutralny mnożenia

Elementem neutralnym (obojętnym) mnożenia jest liczba „1”, ponieważ \(a \cdot 1 = a\).

Mnożenie liczb dodatnich i ujemnych

Prawdziwe są wzory:

\((+a)\cdot (+b)=+a\cdot b\)

\( (-a)\cdot (+b)=-a\cdot b\)

\( (-a)\cdot (-b)=+a\cdot b\)

Z powyższych wzorów wynika, że iloczynem dwóch liczb ujemnych jest liczba dodatnia. Iloczyn jest ujemny tylko w przypadku, gdy jeden z czynników iloczynu jest ujemny.

Mnożenie przez 0 (zero)

Dowolna liczba pomnożona przez zero daje w wyniku zero. Zatem \(x\cdot 0 = 0\)

Iloczyn i iloraz

Iloczyn i iloraz (dzielenie) są działaniami odwrotnymi.

Na końcu znajdziesz ciąg dalszy artykułu, w którym omawiamy mnożenie ułamków, tabliczkę mnożenia, mnożenie pisemne, symbol pi.

Pytania

Czy iloczyn dwóch liczb dwucyfrowych może być liczbą dwucyfrową?

Najmniejsza liczba dwucyfrowa to 10. Jeżeli pomnożymy 10 przez 10, to otrzymamy liczbę 100, czyli najmniejszą liczbę trzycyfrową. Wniosek jest taki, że iloczyn liczb dwucyfrowych jest co najmniej liczbą trzycyfrową.

Ile wynosi iloczyn cyfr roku 2023?

Jedna z cyfr jest zerem. Mnożąc 2 i 3 przez zero, otrzymamy w wyniku zero. Zauważ, że ta odpowiedź będzie aktualna aż do 2110 roku.

Czy mnożenie jest rozdzielne względem odejmowania?

Tak. Możemy napisać, że \((a - b) \cdot c = a \cdot c - b \cdot c\).

Jak wykonujemy mnożenie pierwiastków i potęg?

Odpowiedź znajduje się w artykułach działania na potęgach oraz działania na pierwiastkach.

Jak wykonać mnożenie w Excelu?

Używamy do tego operatora * (gwiazdka). Aby pomnożyć dwie liczby (np. 2 i 6) należy w komórce wpisać formułę "=2*6". Otrzymamy wynik 12.

Jeżeli chcemy pomnożyć przez siebie zawartość komórek A1 i A2, w innej komórce wpisujemy formułę "=A1*A2". Wpisując w komórki A1 i A2 dowolne liczby, otrzymamy zawsze ich iloczyn w komórce z formułą. Napisaliśmy prosty kalkulator mnożenia.

Możemy także użyć formuły ILOCZYN, aby pomnożyć wiele komórek przez siebie. Dla przykładu, jeżeli w komórkach od A1 do A100 mamy wpisane jakieś liczby i chcemy je przez siebie pomnożyć, w komórce A101 możemy wpisać formułę "=ILOCZYN(A1:A100)". Naciskamy klawisz ENTER i otrzymujemy wynik.

Jak mnożymy wektory?

Możenie wektorów jest bardziej skomplikowane. Inaczej wykonujemy mnożenie wektora przez liczbę, inaczej wektora przez drugi wektor. W tym drugim przypadku mamy dwie możliwości: iloczyn skalarny wektorów daje w wyniku liczbę. Istnieje jeszcze iloczyn wektorowy, którego wynikiem jest wektor.

Jak wykonujemy mnożenie logarytmów?

Zagadnienie zostało omówione w artykule o własnościach logarytmów.

Co to jest iloczyn kartezjański?

Iloczyn kartezjański stosujemy dla zbiorów. Zagadnienie jest opisane w osobnym artykule.

Co to jest iloczyn logiczny?

Iloczyn logiczny, inaczej koniunkcja, został opisany tutaj.

Jaki wynik daje iloczyn dwóch liczb niewymiernych?

Iloczyn dwóch liczb niewymiernych może być wymierny lub niewymierny. Oto przykład: \(\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}= \sqrt{4}=2\) i \(\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}=\sqrt{6}\).

Iloczyn to wynik mnożenia czy dzielenia?

Iloczyn to wynik mnożenia, a iloraz to wynik mnożenia.

Ćwiczenia

Ćwiczenia interakcyjne pomogą przygotować się na sprawdzian, test, egzamin, a ponadto usystematyzują wiedzę z danej dziedziny. To także świetny trening do matury. Wiele ćwiczeń to dobre zadania maturalne.