logo
Szukaj w serwisie:
 
 

Liczby wymierne

Liczba wymierna jest to liczba, którą można wyrazić w postaci a/b, gdzie a jest liczbą całkowitą i b jest liczbą całkowitą różną od zera. Zbiór liczb wymiernych oznaczamy literą W

Przykład

Liczbami wymiernymi są na przykład: 1/2, 6/3 (czyli 2), 0/7 (czyli 0), -5/10 (czyli -1/2), 0.01 (czyli 1/100), 3/2 (czyli 1 i 1/2).

Przykład

Mimo, że liczby 5 i 0.3333... nie są wyrażone w postaci ułamka a/b, to są liczbami wymiernymi, ponieważ można je wyrazić w takiej postaci:

Zbiór liczb wymiernych jest zbiorem nieskończonym, ponadto nie ma w nim liczby najmniejszej, ani największej.

Podzbiorem zbioru liczb wymiernych jest zbiór liczb całkowitych (C\subset W).

Quizy
Quiz: Skracanie ułamków
Poziom: podstawowy
Liczba pytań: 20
Quiz: Zamiana ułamków zwykłych na ułamki dziesiętne
Poziom: podstawowy
Liczba pytań: 20

Ułamki zwykłe

Definicja

Iloraz a/b nazywamy ułamkiem zwykłym:

Przykład

1/2, 5/8, 100/101 to ułamki zwykłe właściwe,
2/1, 8/5, 101/100, 0/3 to ułamki zwykłe niewłaściwe

Ponadto liczbę a nazywamy licznikiem, a liczbę b - mianownikiem ułamka.

ułamek


Kalkulator - Skracanie ułamków zwykłych

W tym miejscu możesz zobaczyć w jaki sposób skracamy ułamki zwykłe. Nasz robot rozwiązuje dowolne zadanie z tego zakresu.

Wpisz dane:

Licznik:     
Mianownik:


Rozwiązujemy zadanie:


 Objaśnienia:
  • Jeżeli wynik wskaże wartość "infinity" to oznacza, że jest poza zakresem dostępnym dla niniejszego kalkulatora
  • Zapis wyniku 1.2e+12 oznacza liczbę 1.2 pomnożoną przez 1012
  • Gdy jedna z liczb będąca wynikiem działań jest wieksza od jej reprezentacji 64-bitowej, kalkulator stosuje przybliżenia wyniku.
  • Jeżeli podasz liczbę rzeczywistą, do obliczeń zostanie wzięta jedynie jej część całkowita.

Ułamek dziesiętny

Ułamki o mianownikach 10, 100, 1000, 10000 itd. możemy zapisać w dziesiątkowym systemie pozycyjnym, oddzielając przecinkiem (lub kropką) część całkowitą i 10-te, 100-tne, 1000-czne itd. części tej liczby.

Przykład

2/10 = 0.2
14/100 = 0.14
2/1000 = 0.002
111/100 = 1.11

Aby zamienić ułamek zwykły na ułamek dziesiętny należy wykonać dzielenie pisemne licznika przez mianownik. W wyniku dzielenia możemy uzyskać ułamek dziesiętny skończony lub ułamek dziesiętny nieskończony okresowy.

Każda liczba wymierna ma dokładnie jedno rozwinięcie dziesiętne: okresowe lub skończone

Przykład

5/4 = 1.25 - jest to przykład ułamka dziesiętnego skończonego
1/3 = 0.333... = 0.(3) - jest to przykład ułamka dziesiętnego nieskończonego okresowego. Ponieważ po kropce liczba "3" powtarza się nieskończenie wiele razy używamy zapisu polegającego na ujęciu okresu w nawiasach okrągłych.

Gdy zechcemy zamienić ułamek zwykły na dziesiętny, to jest to proste, jeżeli mamy do czynienia z ułamkiem dziesiętnym skończonym (np. 0.11 = 11/100), natomiast w przypadku ułamka okresowego trzeba stosować metody, które zostaną omówione w dalszej części kursu.

Ciekawostki

Która z liczb: 1 czy 0.999... jest większa?

Aby to sprawdzić zamieńmy ułamek okresowy 0.(9) na ułamek zwykły.

Niech x = 0.999...
Obie strony tego równania mnożymy przez 10.
Otrzymujemy 10x = 9.999... Mamy zatem prosty układ równań:
10x = 9.999... i x = 0.999...
Kiedy odejmiemy od pierwszego równania drugie, otrzymamy:
9x = 9.000..., czyli 9x = 9.
Dzieląc obie strony równania przez 9 otrzymujemy wynik: x = 1. Ale przecież na początku zapisaliśmy, że x = 0.999... !
Wnioskujemy więc że liczby te są ... równe!

1 = 0.999...

Oczywiście nie mamy tutaj do czynienia z żadnym przybliżeniem.

Każdy ułamek dziesiętny, mający okres 9 można zastąpić ułamkiem dziesiętnym skończonym.

A więc dla przykładu:
0.8(9) = 0.9
1.999... = 2
0.1(9) = 0.2

1 i 0.999... to po prostu różny sposób zapisu tej samej liczby.

© Media Nauka, 2008-10-17, ART00043/86





Poprzedni artykuł  Poprzedni artykuł 
Następny artykuł  Następny artykuł 


Bibliografia
Zgłoś błąd




Menu Matematyka
Słownik matematyczny

Zadania
Testy i quizy
Tablice
Narzędzia

www.e-pomoce.pl - banner
Lekcja: Zbiór liczb rzeczywistych i jego podzbiory
» Liczby naturalne
» Liczby całkowite
Liczby wymierne
» Liczby niewymierne
» Liczby rzeczywiste
» Kres górny i kres dolny zbioru
» Przedziały liczbowe
» Test kontrolny


Zamieść link tekstowy do niniejszego artykułu na swojej stronie.