logo
Szukaj w serwisie:
 
 

Liczby wymierne

Liczba wymierna jest to liczba, którą można wyrazić w postaci a/b, gdzie a jest liczbą całkowitą i b jest liczbą całkowitą różną od zera. Zbiór liczb wymiernych oznaczamy literą W

Przykład

Liczbami wymiernymi są na przykład: 1/2, 6/3 (czyli 2), 0/7 (czyli 0), -5/10 (czyli -1/2), 0.01 (czyli 1/100), 3/2 (czyli 1 i 1/2).

Przykład

Mimo, że liczby 5 i 0.3333... nie są wyrażone w postaci ułamka a/b, to są liczbami wymiernymi, ponieważ można je wyrazić w takiej postaci:

Zbiór liczb wymiernych jest zbiorem nieskończonym, ponadto nie ma w nim liczby najmniejszej, ani największej.

Podzbiorem zbioru liczb wymiernych jest zbiór liczb całkowitych (C\subset W).

Quizy
Quiz: Skracanie ułamków
Poziom: podstawowy
Liczba pytań: 20
Quiz: Zamiana ułamków zwykłych na ułamki dziesiętne
Poziom: podstawowy
Liczba pytań: 20

Ułamki zwykłe

Definicja

Iloraz a/b nazywamy ułamkiem zwykłym:

Przykład

1/2, 5/8, 100/101 to ułamki zwykłe właściwe,
2/1, 8/5, 101/100, 0/3 to ułamki zwykłe niewłaściwe

Ponadto liczbę a nazywamy licznikiem, a liczbę b - mianownikiem ułamka.

ułamek


Kalkulator - Skracanie ułamków zwykłych

W tym miejscu możesz zobaczyć w jaki sposób skracamy ułamki zwykłe. Nasz robot rozwiązuje dowolne zadanie z tego zakresu.

Wpisz dane:

Licznik:     
Mianownik:


Rozwiązujemy zadanie:


 Objaśnienia:
  • Jeżeli wynik wskaże wartość "infinity" to oznacza, że jest poza zakresem dostępnym dla niniejszego kalkulatora
  • Zapis wyniku 1.2e+12 oznacza liczbę 1.2 pomnożoną przez 1012
  • Gdy jedna z liczb będąca wynikiem działań jest wieksza od jej reprezentacji 64-bitowej, kalkulator stosuje przybliżenia wyniku.
  • Jeżeli podasz liczbę rzeczywistą, do obliczeń zostanie wzięta jedynie jej część całkowita.

Ułamek dziesiętny

Ułamki o mianownikach 10, 100, 1000, 10000 itd. możemy zapisać w dziesiątkowym systemie pozycyjnym, oddzielając przecinkiem (lub kropką) część całkowitą i 10-te, 100-tne, 1000-czne itd. części tej liczby.

Przykład

2/10 = 0.2
14/100 = 0.14
2/1000 = 0.002
111/100 = 1.11

Aby zamienić ułamek zwykły na ułamek dziesiętny należy wykonać dzielenie pisemne licznika przez mianownik. W wyniku dzielenia możemy uzyskać ułamek dziesiętny skończony lub ułamek dziesiętny nieskończony okresowy.

Każda liczba wymierna ma dokładnie jedno rozwinięcie dziesiętne: okresowe lub skończone

Przykład

5/4 = 1.25 - jest to przykład ułamka dziesiętnego skończonego
1/3 = 0.333... = 0.(3) - jest to przykład ułamka dziesiętnego nieskończonego okresowego. Ponieważ po kropce liczba "3" powtarza się nieskończenie wiele razy używamy zapisu polegającego na ujęciu okresu w nawiasach okrągłych.

Gdy zechcemy zamienić ułamek zwykły na dziesiętny, to jest to proste, jeżeli mamy do czynienia z ułamkiem dziesiętnym skończonym (np. 0.11 = 11/100), natomiast w przypadku ułamka okresowego trzeba stosować metody, które zostaną omówione w dalszej części kursu.

Ciekawostki

Która z liczb: 1 czy 0.999... jest większa?

Aby to sprawdzić zamieńmy ułamek okresowy 0.(9) na ułamek zwykły.

Niech x = 0.999...
Obie strony tego równania mnożymy przez 10.
Otrzymujemy 10x = 9.999... Mamy zatem prosty układ równań:
10x = 9.999... i x = 0.999...
Kiedy odejmiemy od pierwszego równania drugie, otrzymamy:
9x = 9.000..., czyli 9x = 9.
Dzieląc obie strony równania przez 9 otrzymujemy wynik: x = 1. Ale przecież na początku zapisaliśmy, że x = 0.999... !
Wnioskujemy więc że liczby te są ... równe!

1 = 0.999...

Oczywiście nie mamy tutaj do czynienia z żadnym przybliżeniem.

Każdy ułamek dziesiętny, mający okres 9 można zastąpić ułamkiem dziesiętnym skończonym.

A więc dla przykładu:
0.8(9) = 0.9
1.999... = 2
0.1(9) = 0.2

1 i 0.999... to po prostu różny sposób zapisu tej samej liczby.

© Media Nauka, 2008-10-17, ART00043/86





Poprzedni artykuł  Poprzedni artykuł 
Następny artykuł  Następny artykuł 


Bibliografia
Zgłoś błąd




Menu Matematyka
Słownik matematyczny

Zadania
Testy i quizy
Tablice
Narzędzia

www.e-pomoce.pl - banner
Lekcja: Zbiór liczb rzeczywistych i jego podzbiory
» Liczby naturalne
» Liczby całkowite
Liczby wymierne
» Liczby niewymierne
» Liczby rzeczywiste
» Kres górny i kres dolny zbioru
» Przedziały liczbowe
» Test kontrolny

Pozostało...
196 dni do matury 2015
Pozostało...
183 dni do egzaminu gimnazjalnego 2015
Pozostało...
163 dni do sprawdzianu szóstoklasistów 2015

Zamieść link tekstowy do niniejszego artykułu na swojej stronie.