LICZBY WYMIERNE

Liczba wymierna jest to liczba, którą można wyrazić w postaci a/b, gdzie a jest liczbą całkowitą i b jest liczbą całkowitą różną od zera. Zbiór liczb wymiernych oznaczamy literą W

Liczbami wymiernymi są na przykład: 1/2, 6/3 (czyli 2), 0/7 (czyli 0), -5/10 (czyli -1/2), 0.01 (czyli 1/100), 3/2 (czyli 1 i 1/2).

Mimo, że liczby 5 i 0.3333... nie są wyrażone w postaci ułamka a/b, to są liczbami wymiernymi, ponieważ można je wyrazić w takiej postaci:

• 5 = 5/1
• 0.3333... = 1/3
• -2 = -4/2

Zbiór liczb wymiernych jest zbiorem nieskończonym, ponadto nie ma w nim liczby najmniejszej, ani największej.

Podzbiorem zbioru liczb wymiernych jest zbiór liczb całkowitych ().

Ułamki zwykłe

Iloraz a/b nazywamy ułamkiem zwykłym:

• właściwym, jeżeli a < b ,
• niewłaściwym, jeżeli a ≥ b.

1/2, 5/8, 100/101 to ułamki zwykłe właściwe,
2/1, 8/5, 101/100, 0/3 to ułamki zwykłe niewłaściwe

Ponadto liczbę a nazywamy licznikiem, a liczbę b - mianownikiem ułamka.

Ułamek dziesiętny

Ułamki o mianownikach 10, 100, 1000, 10000 itd. możemy zapisać w dziesiątkowym systemie pozycyjnym, oddzielając przecinkiem (lub kropką) część całkowitą i 10-te, 100-tne, 1000-czne itd. części tej liczby.

2/10 = 0.2
14/100 = 0.14
2/1000 = 0.002
111/100 = 1.11

Aby zamienić ułamek zwykły na ułamek dziesiętny należy wykonać dzielenie pisemne licznika przez mianownik. W wyniku dzielenia możemy uzyskać ułamek dziesiętny skończony lub ułamek dziesiętny nieskończony okresowy.

Każda liczba wymierna ma dokładnie jedno rozwinięcie dziesiętne: okresowe lub skończone

5/4 = 1.25 - jest to przykład ułamka dziesiętnego skończonego
1/3 = 0.333... = 0.(3) - jest to przykład ułamka dziesiętnego nieskończonego okresowego. Ponieważ po kropce liczba "3" powtarza się nieskończenie wiele razy używamy zapisu polegającego na ujęciu okresu w nawiasach okrągłych.

Gdy zechcemy zamienić ułamek zwykły na dziesiętny, to jest to proste, jeżeli mamy do czynienia z ułamkiem dziesiętnym skończonym (np. 0.11 = 11/100), natomiast w przypadku ułamka okresowego trzeba stosować metody, które zostaną omówione w dalszej części kursu.

Która z liczb: 1 czy 0.999... jest większa?

Aby to sprawdzić zamieńmy ułamek okresowy 0.(9) na ułamek zwykły.

Niech x = 0.999...
Obie strony tego równania mnożymy przez 10.
Otrzymujemy 10x = 9.999... Mamy zatem prosty układ równań:
10x = 9.999... i x = 0.999...
Kiedy odejmiemy od pierwszego równania drugie, otrzymamy:
9x = 9.000..., czyli 9x = 9.
Dzieląc obie strony równania przez 9 otrzymujemy wynik: x = 1. Ale przecież na początku zapisaliśmy, że x = 0.999... !
Wnioskujemy więc że liczby te są ... równe!:

1 = 0.999...

Oczywiście nie mamy tutaj do czynienia z żadnym przybliżeniem.

Każdy ułamek dziesiętny, mający okres 9 można zastąpić ułamkiem dziesiętnym skończonym.

A więc dla przykładu:
0.8(9) = 0.9
1.999... = 2
0.1(9) = 0.2

1 i 0.999... to po prostu różny sposób zapisu tej samej liczby.

© Media Nauka, 2008-10-17
ART00043/86