logo
Szukaj w serwisie:
 
 

Monotoniczność funkcji

Monotoniczność jest to pewna cecha funkcji, która mówi nam, co się dzieje z wartościami funkcji podczas zwiększania wartości liczbowych argumentów funkcji. I tak wyróżniamy z tego względu funkcje:

Warto tu jeszcze wspomnieć o funkcji stałej, choć nie mówimy o niej jak o funkcji monotonicznej.

Funkcja stała to taka funkcja, która przyjmuje takie same wartości dla dowolnych argumentów. Są to przykładowo funkcje: f(x)=5, f(x)=0, f(x)=-111.

Funkcja rosnąca

Definicja

Funkcja f(x) jest rosnąca w zbiorze A, gdy dla dowolnych dwóch liczb x_{1}, x_{2} z tego zbioru prawdziwa jest implikacja:

x_{1}<x_{2} \Rightarrow f(x_{1})<f(x_{2})

Pojęcie funkcji rosnącej można wyobrazić sobie w następujący sposób. Jeżeli będziemy zwiększać w całym rozpatrywanym przedziale argumenty funkcji i zaobserwujemy, że rosną też wartości funkcji dla tych argumentów, to mamy do czynienia z funkcją rosnącą w tym przedziale.

funkcja rosnąca

Cechą charakterystyczną wykresu funkcji rosnącej jest to, że zdaje się wznosić ku górze.

Aby udowodnić, że dana funkcja jest rosnąca w danym przedziale wystarczy założyć, że x_{1}<x_{2} i wykazać, że f(x_{1})<f(x_{2}), czyli f(x_{2})-f(x_{1})>0

Przykład

Wykażemy, że funkcja f(x)=3x-2 jest rosnąca w całej dziedzinie.
Zakładamy, że x_{1}<x_{2}.
Obliczamy f(x_{1})=3x_{1}-2,f(x_{2})=3x_{2}-2.
Musimy wykazać, że f(x_{1})<f(x_{2}), czyli f(x_{2})-f(x_{1})>0.
Podstawiamy do nierówności wyliczone wartości funkcji i otrzymujemy:
3x_{2}-2-(3x_{1}-2)>0\\ 3x_{2}-2-3x_{1}+2>0\\ 3x_{2}-3x_{1}>0\\ x_{2}-x_{1}>0\\ x_{1}<x_{2}
co jest zgodne z założeniem. A więc funkcja ta jest rosnąca w całej swojej dziedzinie.

Funkcja malejąca

Definicja

Funkcja f(x) jest malejąca w zbiorze A, gdy dla dowolnych dwóch liczb x_{1}, x_{2} z tego zbioru prawdziwa jest implikacja:

x_{1}<x_{2} \Rightarrow f(x_{1})>f(x_{2})

Pojęcie funkcji malejącej można wyobrazić sobie w następujący sposób. Jeżeli będziemy zwiększać w całym rozpatrywanym przedziale argumenty funkcji i zaobserwujemy, że maleją wartości funkcji dla tych argumentów, to mamy do czynienia z funkcją malejącą w tym przedziale.

funkcja malejąca

Cechą charakterystyczną wykresu funkcji malejącej jest to, że zdaje się opadać w dół.

Przykład

Wykażemy, że funkcja f(x)=\frac{1}{x} jest malejąca w zbiorze liczb rzeczywistych dodatnich, czyli w zbiorze R+.
Zakładamy, że x_{1}<x_{2}, czyli x_{2}-x_{1}>0
Obliczamy f(x_{1})=\frac{1}{x_{1}}, f(x_{2})=\frac{1}{x_{2}}.

Musimy wykazać, że f(x_{1})>f(x_{2}), czyli f(x_{1})-f(x_{2})>0.
Podstawiamy do nierówności wyliczone wartości funkcji i otrzymujemy:
\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}>0\\ \frac{x_2-x_1}{x_1x_2}>0

Przeanalizujmy powyższe wyrażenie. Licznik zgodnie z założeniem jest większy od zera. Jeżeli chodzi o mianownik, to zauważamy, że rozpatrujemy liczby z dziedziny funkcji, a więc jedynie liczby dodatnie, których iloczyn jest również dodatni. Ułamek, którego licznik i mianownik jest większy od zera jest oczywiście większy od zera. Oznacza to, że nierówność, którą rozpatrujemy jest prawdziwa dla każdego x_{1}, x_{2}, co należało dowieść.
Funkcja ta jest więc malejąca w rozpatrywanym zbiorze.


Czy funkcja może być jednocześnie malejąca i rosnąca w różnych przedziałach liczbowych? Oczywiście, że tak. Poniżej przykład takiej funkcji wraz z określonymi przedziałami, w których funkcja rośnie i maleje oraz jest stała.

funkcja malejąca

Funkcja niemalejąca

Definicja

Funkcja f(x) jest niemalejąca w zbiorze A, gdy dla dowolnych dwóch liczb x_{1}, x_{2} z tego zbioru prawdziwa jest implikacja:

x_{1}<x_{2} \Rightarrow f(x_{1}) \leq f(x_{2})

Zatem definicja funkcji niemalejącej przypomina definicję funkcji rosnącej, z tym, że w przypadku funkcji niemalejącej mamy nieostrą nierówność. Dopuszczamy więc przedziały, w których funkcja jest stała.
Oto ilustracja funkcji niemalejącej.

funkcja niemalejąca

Funkcja nierosnąca

Definicja

Funkcja f(x) jest nierosnąca w zbiorze A, gdy dla dowolnych dwóch liczb x_{1}, x_{2} z tego zbioru prawdziwa jest implikacja:

x_{1}<x_{2} \Rightarrow f(x_{1}) \geq f(x_{2})

Zatem definicja funkcji nierosnącej przypomina definicję funkcji malejącej, z tym, że w przypadku funkcji nierosnącej mamy nieostrą nierówność. Dopuszczamy więc przedziały, w których funkcja jest stała.
Oto ilustracja funkcji nierosnącej.

funkcja niemalejąca

© Media Nauka, 2009-05-06, ART00102/202


spis treści
Zadania
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.



Zadanie 313 - monotoniczność funkcji, dowód wprost
Wykazać na podstawie definicji, że funkcja f(x)=\frac{x}{2}-3 jest rosnąca w całej swojej dziedzinie.

Zadanie 314 - monotoniczność funkcji na podstawie definicji
Wykazać na podstawie definicji, że funkcja f(x)=5-x jest malejąca w całej swojej dziedzinie.

Zadanie 315 - monotonicznośc funkcji w zbiorze
Wykazać na podstawie definicji, że funkcja f(x)=x^2 jest rosnąca dla x>0.




Poprzedni artykuł  Poprzedni artykuł 
Następny artykuł  Następny artykuł 


Bibliografia
Zgłoś błąd




Menu Matematyka
Słownik matematyczny

Zadania
Testy i quizy
Tablice
Narzędzia

www.e-pomoce.pl - banner
Lekcja: Podstawowe własności funkcji
» Miejsce zerowe funkcji
Monotoniczność funkcji
» Okres funkcji
» Funkcja parzysta i nieparzysta
» Ekstremum funkcji
» Funkcja różnowartościowa
» Test kontrolny

Pozostało...
195 dni do matury 2015
Pozostało...
182 dni do egzaminu gimnazjalnego 2015
Pozostało...
162 dni do sprawdzianu szóstoklasistów 2015

Zamieść link tekstowy do niniejszego artykułu na swojej stronie.