logo
Szukaj w serwisie:
 
 

Monotoniczność funkcji

Monotoniczność jest to pewna cecha funkcji, która mówi nam, co się dzieje z wartościami funkcji podczas zwiększania wartości liczbowych argumentów funkcji. I tak wyróżniamy z tego względu funkcje:

Warto tu jeszcze wspomnieć o funkcji stałej, choć nie mówimy o niej jak o funkcji monotonicznej.

Funkcja stała to taka funkcja, która przyjmuje takie same wartości dla dowolnych argumentów. Są to przykładowo funkcje: f(x)=5, f(x)=0, f(x)=-111.

Funkcja rosnąca

Definicja

Funkcja f(x) jest rosnąca w zbiorze A, gdy dla dowolnych dwóch liczb x_{1}, x_{2} z tego zbioru prawdziwa jest implikacja:

x_{1}<x_{2} \Rightarrow f(x_{1})<f(x_{2})

Pojęcie funkcji rosnącej można wyobrazić sobie w następujący sposób. Jeżeli będziemy zwiększać w całym rozpatrywanym przedziale argumenty funkcji i zaobserwujemy, że rosną też wartości funkcji dla tych argumentów, to mamy do czynienia z funkcją rosnącą w tym przedziale.

funkcja rosnąca

Cechą charakterystyczną wykresu funkcji rosnącej jest to, że zdaje się wznosić ku górze.

Aby udowodnić, że dana funkcja jest rosnąca w danym przedziale wystarczy założyć, że x_{1}<x_{2} i wykazać, że f(x_{1})<f(x_{2}), czyli f(x_{2})-f(x_{1})>0

Przykład

Wykażemy, że funkcja f(x)=3x-2 jest rosnąca w całej dziedzinie.
Zakładamy, że x_{1}<x_{2}.
Obliczamy f(x_{1})=3x_{1}-2,f(x_{2})=3x_{2}-2.
Musimy wykazać, że f(x_{1})<f(x_{2}), czyli f(x_{2})-f(x_{1})>0.
Podstawiamy do nierówności wyliczone wartości funkcji i otrzymujemy:
3x_{2}-2-(3x_{1}-2)>0\\ 3x_{2}-2-3x_{1}+2>0\\ 3x_{2}-3x_{1}>0\\ x_{2}-x_{1}>0\\ x_{1}<x_{2}
co jest zgodne z założeniem. A więc funkcja ta jest rosnąca w całej swojej dziedzinie.

Funkcja malejąca

Definicja

Funkcja f(x) jest malejąca w zbiorze A, gdy dla dowolnych dwóch liczb x_{1}, x_{2} z tego zbioru prawdziwa jest implikacja:

x_{1}<x_{2} \Rightarrow f(x_{1})>f(x_{2})

Pojęcie funkcji malejącej można wyobrazić sobie w następujący sposób. Jeżeli będziemy zwiększać w całym rozpatrywanym przedziale argumenty funkcji i zaobserwujemy, że maleją wartości funkcji dla tych argumentów, to mamy do czynienia z funkcją malejącą w tym przedziale.

funkcja malejąca

Cechą charakterystyczną wykresu funkcji malejącej jest to, że zdaje się opadać w dół.

Przykład

Wykażemy, że funkcja f(x)=\frac{1}{x} jest malejąca w zbiorze liczb rzeczywistych dodatnich, czyli w zbiorze R+.
Zakładamy, że x_{1}<x_{2}, czyli x_{2}-x_{1}>0
Obliczamy f(x_{1})=\frac{1}{x_{1}}, f(x_{2})=\frac{1}{x_{2}}.

Musimy wykazać, że f(x_{1})>f(x_{2}), czyli f(x_{1})-f(x_{2})>0.
Podstawiamy do nierówności wyliczone wartości funkcji i otrzymujemy:
\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}>0\\ \frac{x_2-x_1}{x_1x_2}>0

Przeanalizujmy powyższe wyrażenie. Licznik zgodnie z założeniem jest większy od zera. Jeżeli chodzi o mianownik, to zauważamy, że rozpatrujemy liczby z dziedziny funkcji, a więc jedynie liczby dodatnie, których iloczyn jest również dodatni. Ułamek, którego licznik i mianownik jest większy od zera jest oczywiście większy od zera. Oznacza to, że nierówność, którą rozpatrujemy jest prawdziwa dla każdego x_{1}, x_{2}, co należało dowieść.
Funkcja ta jest więc malejąca w rozpatrywanym zbiorze.


Czy funkcja może być jednocześnie malejąca i rosnąca w różnych przedziałach liczbowych? Oczywiście, że tak. Poniżej przykład takiej funkcji wraz z określonymi przedziałami, w których funkcja rośnie i maleje oraz jest stała.

funkcja malejąca

Funkcja niemalejąca

Definicja

Funkcja f(x) jest niemalejąca w zbiorze A, gdy dla dowolnych dwóch liczb x_{1}, x_{2} z tego zbioru prawdziwa jest implikacja:

x_{1}<x_{2} \Rightarrow f(x_{1}) \leq f(x_{2})

Zatem definicja funkcji niemalejącej przypomina definicję funkcji rosnącej, z tym, że w przypadku funkcji niemalejącej mamy nieostrą nierówność. Dopuszczamy więc przedziały, w których funkcja jest stała.
Oto ilustracja funkcji niemalejącej.

funkcja niemalejąca

Funkcja nierosnąca

Definicja

Funkcja f(x) jest nierosnąca w zbiorze A, gdy dla dowolnych dwóch liczb x_{1}, x_{2} z tego zbioru prawdziwa jest implikacja:

x_{1}<x_{2} \Rightarrow f(x_{1}) \geq f(x_{2})

Zatem definicja funkcji nierosnącej przypomina definicję funkcji malejącej, z tym, że w przypadku funkcji nierosnącej mamy nieostrą nierówność. Dopuszczamy więc przedziały, w których funkcja jest stała.
Oto ilustracja funkcji nierosnącej.

funkcja niemalejąca

© Media Nauka, 2009-05-06, ART00102/202


spis treści
Zadania
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.



Zadanie 313 - monotoniczność funkcji, dowód wprost
Wykazać na podstawie definicji, że funkcja f(x)=\frac{x}{2}-3 jest rosnąca w całej swojej dziedzinie.

Zadanie 314 - monotoniczność funkcji na podstawie definicji
Wykazać na podstawie definicji, że funkcja f(x)=5-x jest malejąca w całej swojej dziedzinie.

Zadanie 315 - monotonicznośc funkcji w zbiorze
Wykazać na podstawie definicji, że funkcja f(x)=x^2 jest rosnąca dla x>0.




Poprzedni artykuł  Poprzedni artykuł 
Następny artykuł  Następny artykuł 


Bibliografia
Zgłoś błąd




Menu Matematyka
Słownik matematyczny

Zadania
Testy i quizy
Tablice
Narzędzia

www.e-pomoce.pl - banner
Lekcja: Podstawowe własności funkcji
» Miejsce zerowe funkcji
Monotoniczność funkcji
» Okres funkcji
» Funkcja parzysta i nieparzysta
» Ekstremum funkcji
» Funkcja różnowartościowa
» Test kontrolny


Zamieść link tekstowy do niniejszego artykułu na swojej stronie.