logo
Szukaj w serwisie:
 
 

Monotoniczność ciągu

Ciąg rosnący jest to taki ciąg (an), w którym każdy następny wyraz jest większy od poprzedniego, czyli an+1-an>0
dla każdego n w przypadku ciągu nieskończonego i dla każdego n<k w przypadku ciągu k-elementowego.

Ciąg malejący jest to taki ciąg (an), w którym każdy następny wyraz jest mniejszy od poprzedniego, czyli an+1-an<0
dla każdego n w przypadku ciągu nieskończonego i dla każdego n<k w przypadku ciągu k-elementowego.

Ciąg niemalejący jest to taki ciąg (an), w którym każdy następny wyraz jest większy od poprzedniego, czyli an+1-an≥0
dla każdego n w przypadku ciągu nieskończonego i dla każdego n<k w przypadku ciągu k-elementowego.

Ciąg nierosnący jest to taki ciąg (an), w którym każdy następny wyraz jest mniejszy od poprzedniego, czyli an+1-an≤0
dla każdego n w przypadku ciągu nieskończonego i dla każdego n<k w przypadku ciągu k-elementowego.

Ciąg stały jest to taki ciąg (an), w którym każdy wyraz jest stały, czyli an+1-an=0
dla każdego n w przypadku ciągu nieskończonego i dla każdego n<k w przypadku ciągu k-elementowego.

Badanie monotoniczności ciągu sprowadza się do zbadania znaku różnicy an+1-anPrzeanalizujmy to na przykładzie.

Przykład

Zbadajmy monotoniczność ciągu an=2n.
Mamy:
an=2n
an+=2(n+1)=2n+2
Badamy różnicę
an+1-an=2n+2-2n=2>0
Różnica następnego i poprzedniego wyrazu jest dodatnia, więc ciąg jest rosnący.

Przykład

Zbadajmy monotoniczność ciągu a_n=\frac{n+1}{n}.
Mamy:
a_n=\frac{n+1}{n}\\a_{n+1}=\frac{(n+1)+1}{n+1}=\frac{n+2}{n+1}
Badamy różnicę
a_{n+1}-a_n=\frac{n+2}{n+1}-\frac{n+1}{n}=\frac{n(n+2)}{n(n+1)}-\frac{(n+1)^2}{n(n+1)}=\frac{n^2+2n-n^2-2n-1}{n(n+1)}=\\=\frac{-1}{n(n+1)}<0
Różnica następnego i poprzedniego wyrazu jest ujemna - n(n+1) jest większe od zera, ponieważ n jest liczbą naturalną - więc ciąg jest malejący.

A oto przykłady ciągów niemonotonicznych, czyli takich, które nie są ciągami niemalejącymi ani nierosnącymi.

Przykład

(1,-1,2,-2,3,-3, ...)
(2,3,3,2,3,4,4,3, ...)

© Media Nauka, 2009-08-21, ART00175/295


spis treści
Zadania
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.



Zadanie 135 - monotoniczność ciągu
Zbadać monotoniczność ciągu:
a) a_n=n^2-2
b) a_n=\frac{(-1)^n}{n}

Zadanie 137 - badanie monotoniczności ciągów

Zbadać monotoniczność ciągu:

a) a_n=\frac{(1-n)n}{2-n}, \ dla \ n\geq 4
b) \begin{cases}a_1=1\\ a_n=a_{n-1}-1, \ dla \ n\geq 2 \end{cases}




Poprzedni artykuł  Poprzedni artykuł 
Następny artykuł  Następny artykuł 


Bibliografia
Zgłoś błąd




Menu Matematyka
Słownik matematyczny

Zadania
Testy i quizy
Tablice
Narzędzia

www.e-pomoce.pl - banner
Lekcja: Pojęcie ciągu liczbowego
» Ciąg liczbowy
» Wykres ciągu
Monotoniczność ciągu
» Test kontrolny

Pozostało...
243 dni do matury 2015
Pozostało...
230 dni do egzaminu gimnazjalnego 2015
Pozostało...
210 dni do sprawdzianu szóstoklasistów 2015

Zamieść link tekstowy do niniejszego artykułu na swojej stronie.