logo



Monotoniczność ciągu

Ciąg rosnący jest to taki ciąg (an), w którym każdy następny wyraz jest większy od poprzedniego, czyli an+1-an>0
dla każdego n w przypadku ciągu nieskończonego i dla każdego n<k w przypadku ciągu k-elementowego.

Ciąg malejący jest to taki ciąg (an), w którym każdy następny wyraz jest mniejszy od poprzedniego, czyli an+1-an<0
dla każdego n w przypadku ciągu nieskończonego i dla każdego n<k w przypadku ciągu k-elementowego.

Ciąg niemalejący jest to taki ciąg (an), w którym każdy następny wyraz jest większy od poprzedniego, czyli an+1-an≥0
dla każdego n w przypadku ciągu nieskończonego i dla każdego n<k w przypadku ciągu k-elementowego.

Ciąg nierosnący jest to taki ciąg (an), w którym każdy następny wyraz jest mniejszy od poprzedniego, czyli an+1-an≤0
dla każdego n w przypadku ciągu nieskończonego i dla każdego n<k w przypadku ciągu k-elementowego.

Ciąg stały jest to taki ciąg (an), w którym każdy wyraz jest stały, czyli an+1-an=0
dla każdego n w przypadku ciągu nieskończonego i dla każdego n<k w przypadku ciągu k-elementowego.

Teoria Badanie monotoniczności ciągu sprowadza się do zbadania znaku różnicy an+1-anPrzeanalizujmy to na przykładzie.

Przykład Przykład

Zbadajmy monotoniczność ciągu an=2n.
Mamy:
an=2n
an+=2(n+1)=2n+2
Badamy różnicę
an+1-an=2n+2-2n=2>0
Różnica następnego i poprzedniego wyrazu jest dodatnia, więc ciąg jest rosnący.

Przykład Przykład

Zbadajmy monotoniczność ciągu a_n=\frac{n+1}{n}.
Mamy:
a_n=\frac{n+1}{n}\\a_{n+1}=\frac{(n+1)+1}{n+1}=\frac{n+2}{n+1}
Badamy różnicę
a_{n+1}-a_n=\frac{n+2}{n+1}-\frac{n+1}{n}=\frac{n(n+2)}{n(n+1)}-\frac{(n+1)^2}{n(n+1)}=\frac{n^2+2n-n^2-2n-1}{n(n+1)}=\\=\frac{-1}{n(n+1)}<0
Różnica następnego i poprzedniego wyrazu jest ujemna - n(n+1) jest większe od zera, ponieważ n jest liczbą naturalną - więc ciąg jest malejący.

Teoria A oto przykłady ciągów niemonotonicznych, czyli takich, które nie są ciągami niemalejącymi ani nierosnącymi.

Przykład Przykład

(1,-1,2,-2,3,-3, ...)
(2,3,3,2,3,4,4,3, ...)

© Media Nauka, 2009-08-21, ART00175/295



Zadania

spis treści
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.


zadanie - ikonka Zadanie 135 - monotoniczność ciągu
Zbadać monotoniczność ciągu:
a) a_n=n^2-2
b) a_n=\frac{(-1)^n}{n}

zadanie - ikonka Zadanie 137 - badanie monotoniczności ciągów
Zbadać monotoniczność ciągu: a) a_n=\frac{(1-n)n}{2-n}, \ dla \ n\geq 4
b) \begin{cases}a_1=1\\ a_n=a_{n-1}-1, \ dla \ n\geq 2 \end{cases}