Nierówność wielomianowa

Przykłady nierówności algebraicznych:

• \(-5x^3+x-1\geq{0}\) — jest to nierówność 3. stopnia.
• \(-x^5+5x^2-x-\sqrt{7}>0\) — jest to nierówność 5. stopnia.
• \(5x^2+7\leq{0}\) — jest to nierówność 2. stopnia (kwadratowe).
• \(x-1\geq{0}\) — jest to nierówność 1. stopnia.

Rozwiązać nierówność \(x(x+4)(x+1)(x-1)(x-2)<0\).

Z lewej strony nierówności mamy już rozłożony na czynniki wielomian. Posiada on 5 pierwiastków: -4,-1, 0, 1, 2.

Sporządzamy siatkę znaków. Miejsca zerowe wyznaczają przedziały, które zapisujemy w kolumnach. W rzędach zapisujemy czynniki wielomianu. Ostatni wiersz, to znaki wielomianu.
W kratkach zapisujemy znaki czynników dla wartości z poszczególnych przedziałów. Oto tabela:

x	\((-\infty;-4)\)	-4	(-4;-1)	-1	(-1;0)	0	(0;1)	1	(1;2)	2	\((2;+\infty)\)
x	-	-	-	-	-	0	+	+	+	+	+
x+4	-	0	+	+	+	+	+	+	+	+	+
x+1	-	-	-	0	+	+	+	+	+	+	+
x-1	-	-	-	-	-	-	-	0	+	+	+
x-2	-	-	-	-	-	-	-	-	-	0	+
W(x)	-	0	+	0	-	0	+	0	-	0	+

Jak sprawdzić znak czynnika dla danego przedziału? Wystarczy dowolną liczbę z danego przedziału podstawić za niewiadomą i obliczyć wynik. Znak wyniku wpisujemy do kratki tabeli.
(np. dla pierwszej kratki znak ustalamy w następujący sposób: weźmy dowolną liczbę z przedziału \((-\infty;-4)\), niech to będzie -5 i podstawmy do czynnika wielomianu x i otrzymujemy wynik -5, a więc ujemny. Znak „-” wpisujemy do odpowiedniej kratki).

Jak znaleźć znak wielomianu? Wystarczy pomnożyć przez siebie w kolumnie jedności ze znakami z poszczególnych kratek. (np. dla pierwszej kolumny (-1)·(-1)·(-1)·(-1)·(-1)=-1, więc znak „-” wpisujemy w ostatnią kratkę pierwszej kolumny). Bezpośrednio z tabeli odczytujemy rozwiązanie. Interesują nas te przedziały, dla których wielomian W(x) jest mniejszy od zera.

Odpowiedź: \(x\in(-\infty;-4)\cup(-1;0)\cup(1;2)\).

Rozwiązać nierówność \((x^4+1)(x-2)<0\).

Czynnik \(x^4+1\) jest zawsze dodatni, więc aby iloczyn dwóch czynników był ujemny, jeden z nich musi być ujemny. Zatem \(x-2<0\), czyli \(x<2\).

Odpowiedź: \(x\in(-\infty;2)\).