Nierówność z dwiema niewiadomymi

Każdą z nierówności

\(ax+by+c<0\)

\(ax+by+c>0\)

\(ax+by+c\leq{0}\)

\(ax+by+c\geq{0}\)

gdzie \(a, b, c\) są dowolnymi liczbami i przynajmniej jedna z liczb \(a\) lub \(b\) jest różna od zera, a \(x, y\) są zmiennymi, nazywamy nierównością pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi.

Przykłady

Przykłady nierówności pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi:

\(2x+4y+6\geq{0}\)
\(x-y>0\)
\(\frac{4x-y}{12}-\sqrt{2}\leq{\sqrt{3}-1}\)

Definicja

Każdą parę liczb \((m,n)\), która spełnia nierówność pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi (to znaczy, która podstawiona do nierówności \(m\) za \(x\) oraz \(n\) za \(y\) daje nierówność prawdziwą) nazywamy rozwiązaniem tej nierówności.

Przykłady

Dana jest nierówność: \(2x+y-1>0\). Jest nieskończenie wiele par liczb, które spełniają tę nierówność. Są to dla przykładu \((3,8), (3,-1), (-1,4)\) itd.

Interpretacja geometryczna

Interpretacją geometryczną w układzie współrzędnych nierówności pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi jest półpłaszczyzna wyznaczona przez prostą o równaniu \(ax+by+c=0\).

Prosta wyznacza na płaszczyźnie dwie półpłaszczyzny. To, która jest wykresem nierówności, zależy od znaku nierówności. Jeżeli nierówność jest ostra, do wykresu nierówności nie zalicza się samej prostej wyznaczającej półpłaszczyznę, w przypadku nieostrej nierówności — prosta należy do wykresu nierówności razem z półpłaszczyzną.

Przykłady

Rozwiązać nierówność \(2x+y-1\geq{0}\).

Powyższą nierówność można rozwiązać graficznie. Przekształćmy ją.

\(2x+y-1\geq{0}\)

\(y\geq -2x+1\)

Wykreślamy zatem w układzie współrzędnych prostą o równaniu \(y=-2x+1\) i zaznaczamy tę część płaszczyzny, która zawiera punkty o współrzędnych spełniających daną nierówność, zaznaczając, że prosta też należy do wykresu tej nierówności.

wykres