Obrót

Co to jest obrót w geometrii? Oto definicja.

Obrót płaszczyzny dookoła punktu \(O\) o kąt skierowany \(\angle{\vec{\alpha}}\) (nazywanym kątem obrotu) jest to przekształcenie płaszczyzny, w którym punktowi \(O\) przyporządkowujemy punkt \(O\), punktowi \(A\), który jest różny od punktu \(O\), taki punkt \(A'\), że \(|OA|=|OA'|\). Punkt \(O\) nazywamy środkiem obrotu.

Animacja

Obrót

Przykład

Na poniższym rysunku został pokazany obrót pewnej figury dookoła punktu \(O\) o kąt skierowany prosty.

Obrót

Twierdzenie

Złożenie symetrii osiowych \(S_bS_a\) względem prostych \(a\) i \(b\) przecinających się w punkcie \(O\) pod kątem skierowanym \(\angle{\vec{\alpha}}\), którego wierzchołek jest punktem \(O\), pierwsze ramię leży na prostej \(a\), drugie ramię leży na prostej \(b\) jest obrotem płaszczyzny dookoła punktu \(O\)> o kąt 2\(\angle{\vec{\alpha}}\).

Obrót jako złożenie symetrii osiowych

Obrót wokół początku układu współrzędnych — wzory

A oto ujęcie analityczne obrotu na płaszczyźnie.

W obrocie dookoła punktu \(O\) (początek układu współrzędnych) o kąt skierowany \(\angle{\vec{\alpha}}\) obrazem pewnego punktu \(P=(x,y)\) jest punkt \(P'=(x',y')\). Zachodzą zależności między współrzędnymi punktu i jego obrazem:

\(x=x'\cos{\alpha}+y'\sin{\alpha}\)

\(y=-x'\sin{\alpha}+y'\cos{\alpha}\)

oraz

\(x'=x\cos{\alpha}-y\sin{\alpha}\)

\(y'=x\sin{\alpha}+y\cos{\alpha}\)