logo
Szukaj w serwisie:
 
 

Pochodna jako funkcja

Jeżeli funkcja f(x) ma pochodną w każdym punkcie x pewnego przedziału, to określona jest w tym przedziale funkcja x\to y=f'(x)

Mówiąc inaczej, jeżeli każdemu punktowi z dziedziny funkcji f(x) przyporządkujemy pochodną w tym punkcie (o ile istnieje), to określimy w ten sposób funkcję, którą nazywamy pochodną funkcji f(x) i oznaczamy przez f '(x).

Przykład

Dla przykładu obliczymy pochodną funkcji f(x)=2x+1.

f(x)=2x+1\\f(x+h)=2(x+h)+1=2x+2h+1\\f'(x)=\lim_{h\to 0}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}=\lim_{h\to 0}{\frac{2x+2h+1-(2x+1)}{h}}=\lim_{h\to 0}{\frac{2h}{h}}=2


Jak widać sposób postępowania przy obliczaniu pochodnej funkcji jest analogiczny do obliczania pochodnej funkcji w punkcie

Pochodne funkcji elementarnych

W poniższej tabeli zostały zawarte podstawowe wzory na obliczenie pochodnych podstawowych funkcji. Nauczenie się ich na pamięć jest bardzo ważne w sprawnym posługiwaniu się rachunkiem pochodnych.

FunkcjaPochodnaUwagi
c 0x\in R
x^nnx^{n-1}x\in R, \ gdy \ n\in N\\ x\in R_+, \ gdy \ n\in W
\sqrt{x}\frac{1}{2\sqrt{x}}x\in R_+
\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}x\neq 0
\sin{x}\cos{x}x\in R
\cos{x}-\sin{x}x\in R
tg{x}\frac{1}{\cos^2{x}}\cos{x}\neq 0
ctg{x}-\frac{1}{\sin^2{x}}\sin{x}\neq 0
a^xa^x\cdot \ln{a}a\in R_+
e^xe^x
\ln{x}\frac{1}{x}x>0
\log_{a}{x}\frac{1}{x\ln{a}x>0, \ a>0, \ a\neq 1
\arcsin{x}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}|x|<1
\arccos{x}-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}|x|<1
arctg{x}\frac{1}{1+x^2}
arcctg{x}\frac{-1}{1+x^2}

Przykład

Dla przykładu obliczymy na podstawie powyższych wzorów kilka pochodnych.

y=5,\ y'=0\\f(x)=x^2\ f'(x)=2x^{2-1}=2x^1=2x\\f(x)=x=x^1,\ f'(x)=1\cdot x^{1-1}=x^0=1\\y=x^{10},\ y'=10x^9

W poniższej tabeli zostały zawarte podstawowe wzory na obliczenie pochodnej sumy, różnicy iloczynu i ilorazu funkcji.

WZÓR
[f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x)
[f(x)-g(x)]'=f'(x)-g'(x)
[f(x)\cdot g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
[\frac{f(x)}{g(x)}]'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}
[c\cdot f(x)]'=c\cdot f'(x)

Przykład

Dla przykładu obliczymy na podstawie powyższych wzorów kilka pochodnych.

1) Pochodna sumy i różnicy funkcji.

f(x)=5x+2\\f'(x)=(5x)'+(2)'=5+0=5\\g(x)=x^2-\frac{1}{x}\\g'(x)=(x^2)'-(\frac{1}{x})'=2x-(-\frac{1}{x^2})=2x+\frac{1}{x^2}

2) Pochodna iloczynu funkcji.

f(x)=5x\sqrt{x}\\f'(x)=(5x)'\cdot \sqrt{x}+5x\cdot (\sqrt{x})'=5\sqrt{x}+5x\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}

3) Pochodna ilorazu funkcji.

f(x)=\frac{x+1}{x^2}\\f'(x)=\frac{(x+1)'\cdot x^2-(x+1)\cdot (x^2)'}{(x^2)^2}=\frac{x^2-2x(x+1)}{x^4}=\frac{x^2-2x^2-2x}{x^4}=\\=\frac{-x^2-2x}{x^4}=\frac{x(-x-2)}{x^4}=\frac{-x-2}{x^3}

4) Pochodna iloczynu funkcji i stałej.

f(x)=5x^9\\f'(x)=5\cdot(x^9)'=5\cdot 9x^8=45x^8

Przykład

Poniższa animacja pokazuje jeszcze raz krok po kroku, jak obliczamy pochodną ilorazu funkcji.

Pobierz odtwarzacz Adobe Flash Player

© Media Nauka, 2010-09-07, ART00248/893


spis treści
Zadania
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.



Zadanie 468 - pochodna funkcji
Obliczyć pochodną funkcji
a) f(x)=-\frac{1}{2}\\ b)g(x)=x^{17}\\ c)h(x)=x^{\frac{1}{3}}\\ d)i(x)=x\\ e)j(x)=\sqrt{2}

Zadanie 469 - pochodna funkcji
Obliczyć pochodną funkcji
a) f(x)=-x+5\\ b)g(x)=-5x^2+2\sqrt{x}\\ c)h(x)=\sin{x}+2\cos{x}\\ d)i(x)=-\frac{1}{x}-tgx\\ e)j(x)=3x^3-2x^2+x-1

Zadanie 470 - pochodna funkcji
Obliczyć pochodną funkcji
a) f(x)=x\sin{x}\\ b)g(x)=\sin^2{x}\\ c)h(x)=x\sqrt{x}

Zadanie 471 - pochodna ilorazu funkcji
Obliczyć pochodną funkcji:
a) f(x)=\frac{\sin{x}}{x}
b) f(x)=\frac{2x+1}{3x-1}
c) f(x)=\frac{\sin{x}}{\cos{x}}

Zadanie 474 - pochodna ilorazu funkcji
Obliczyć pochodną funkcji:
a) f(x)=\frac{\sqrt{x}}{x}
b) f(x)=\frac{5x^3-x+1}{x^2-1}
c) f(x)=\frac{5x^4-3x^2}{2x^3-1}

Zadanie 475 - pochodna ilorazu funkcji
Obliczyć pochodną funkcji
f(x)=\frac{\sqrt[5]{x}}{10x^8}




Poprzedni artykuł  Poprzedni artykuł 
Następny artykuł  Następny artykuł 


Bibliografia
Zgłoś błąd




Menu Matematyka
Słownik matematyczny

Zadania
Testy i quizy
Tablice
Narzędzia

www.e-pomoce.pl - banner
Lekcja: Pochodna
» Pochodna funkcji w punkcie - definicja
» Różniczkowalność a ciągłość funkcji
» Interpretacja geometryczna pochodnej
Pochodna funkcji, obliczanie pochodnej funkcji
» Pochodna funkcji złożonej
» Pochodna drugiego rzędu i dalsze pochodne
» Test kontrolny


Zamieść link tekstowy do niniejszego artykułu na swojej stronie.