logo
Szukaj w serwisie:
 
 

Pochodna jako funkcja

Jeżeli funkcja f(x) ma pochodną w każdym punkcie x pewnego przedziału, to określona jest w tym przedziale funkcja x\to y=f'(x)

Mówiąc inaczej, jeżeli każdemu punktowi z dziedziny funkcji f(x) przyporządkujemy pochodną w tym punkcie (o ile istnieje), to określimy w ten sposób funkcję, którą nazywamy pochodną funkcji f(x) i oznaczamy przez f '(x).

Przykład

Dla przykładu obliczymy pochodną funkcji f(x)=2x+1.

f(x)=2x+1\\f(x+h)=2(x+h)+1=2x+2h+1\\f'(x)=\lim_{h\to 0}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}=\lim_{h\to 0}{\frac{2x+2h+1-(2x+1)}{h}}=\lim_{h\to 0}{\frac{2h}{h}}=2


Jak widać sposób postępowania przy obliczaniu pochodnej funkcji jest analogiczny do obliczania pochodnej funkcji w punkcie

Pochodne funkcji elementarnych

W poniższej tabeli zostały zawarte podstawowe wzory na obliczenie pochodnych podstawowych funkcji. Nauczenie się ich na pamięć jest bardzo ważne w sprawnym posługiwaniu się rachunkiem pochodnych.

FunkcjaPochodnaUwagi
c 0x\in R
x^nnx^{n-1}x\in R, \ gdy \ n\in N\\ x\in R_+, \ gdy \ n\in W
\sqrt{x}\frac{1}{2\sqrt{x}}x\in R_+
\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}x\neq 0
\sin{x}\cos{x}x\in R
\cos{x}-\sin{x}x\in R
tg{x}\frac{1}{\cos^2{x}}\cos{x}\neq 0
ctg{x}-\frac{1}{\sin^2{x}}\sin{x}\neq 0
a^xa^x\cdot \ln{a}a\in R_+
e^xe^x
\ln{x}\frac{1}{x}x>0
\log_{a}{x}\frac{1}{x\ln{a}x>0, \ a>0, \ a\neq 1
\arcsin{x}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}|x|<1
\arccos{x}-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}|x|<1
arctg{x}\frac{1}{1+x^2}
arcctg{x}\frac{-1}{1+x^2}

Przykład

Dla przykładu obliczymy na podstawie powyższych wzorów kilka pochodnych.

y=5,\ y'=0\\f(x)=x^2\ f'(x)=2x^{2-1}=2x^1=2x\\f(x)=x=x^1,\ f'(x)=1\cdot x^{1-1}=x^0=1\\y=x^{10},\ y'=10x^9

W poniższej tabeli zostały zawarte podstawowe wzory na obliczenie pochodnej sumy, różnicy iloczynu i ilorazu funkcji.

WZÓR
[f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x)
[f(x)-g(x)]'=f'(x)-g'(x)
[f(x)\cdot g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
[\frac{f(x)}{g(x)}]'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}
[c\cdot f(x)]'=c\cdot f'(x)

Przykład

Dla przykładu obliczymy na podstawie powyższych wzorów kilka pochodnych.

1) Pochodna sumy i różnicy funkcji.

f(x)=5x+2\\f'(x)=(5x)'+(2)'=5+0=5\\g(x)=x^2-\frac{1}{x}\\g'(x)=(x^2)'-(\frac{1}{x})'=2x-(-\frac{1}{x^2})=2x+\frac{1}{x^2}

2) Pochodna iloczynu funkcji.

f(x)=5x\sqrt{x}\\f'(x)=(5x)'\cdot \sqrt{x}+5x\cdot (\sqrt{x})'=5\sqrt{x}+5x\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}

3) Pochodna ilorazu funkcji.

f(x)=\frac{x+1}{x^2}\\f'(x)=\frac{(x+1)'\cdot x^2-(x+1)\cdot (x^2)'}{(x^2)^2}=\frac{x^2-2x(x+1)}{x^4}=\frac{x^2-2x^2-2x}{x^4}=\\=\frac{-x^2-2x}{x^4}=\frac{x(-x-2)}{x^4}=\frac{-x-2}{x^3}

4) Pochodna iloczynu funkcji i stałej.

f(x)=5x^9\\f'(x)=5\cdot(x^9)'=5\cdot 9x^8=45x^8

Przykład

Poniższa animacja pokazuje jeszcze raz krok po kroku, jak obliczamy pochodną ilorazu funkcji.

Pobierz odtwarzacz Adobe Flash Player

© Media Nauka, 2010-09-07, ART00248/893


spis treści
Zadania
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.



Zadanie 468 - pochodna funkcji
Obliczyć pochodną funkcji
a) f(x)=-\frac{1}{2}\\ b)g(x)=x^{17}\\ c)h(x)=x^{\frac{1}{3}}\\ d)i(x)=x\\ e)j(x)=\sqrt{2}

Zadanie 469 - pochodna funkcji
Obliczyć pochodną funkcji
a) f(x)=-x+5\\ b)g(x)=-5x^2+2\sqrt{x}\\ c)h(x)=\sin{x}+2\cos{x}\\ d)i(x)=-\frac{1}{x}-tgx\\ e)j(x)=3x^3-2x^2+x-1

Zadanie 470 - pochodna funkcji
Obliczyć pochodną funkcji
a) f(x)=x\sin{x}\\ b)g(x)=\sin^2{x}\\ c)h(x)=x\sqrt{x}

Zadanie 471 - pochodna ilorazu funkcji
Obliczyć pochodną funkcji:
a) f(x)=\frac{\sin{x}}{x}
b) f(x)=\frac{2x+1}{3x-1}
c) f(x)=\frac{\sin{x}}{\cos{x}}

Zadanie 474 - pochodna ilorazu funkcji
Obliczyć pochodną funkcji:
a) f(x)=\frac{\sqrt{x}}{x}
b) f(x)=\frac{5x^3-x+1}{x^2-1}
c) f(x)=\frac{5x^4-3x^2}{2x^3-1}

Zadanie 475 - pochodna ilorazu funkcji
Obliczyć pochodną funkcji
f(x)=\frac{\sqrt[5]{x}}{10x^8}




Poprzedni artykuł  Poprzedni artykuł 
Następny artykuł  Następny artykuł 


Bibliografia
Zgłoś błąd




Menu Matematyka
Słownik matematyczny

Zadania
Testy i quizy
Tablice
Narzędzia

www.e-pomoce.pl - banner
Lekcja: Pochodna
» Pochodna funkcji w punkcie - definicja
» Różniczkowalność a ciągłość funkcji
» Interpretacja geometryczna pochodnej
Pochodna funkcji, obliczanie pochodnej funkcji
» Pochodna funkcji złożonej
» Pochodna drugiego rzędu i dalsze pochodne
» Test kontrolny

Pozostało...
195 dni do matury 2015
Pozostało...
182 dni do egzaminu gimnazjalnego 2015
Pozostało...
162 dni do sprawdzianu szóstoklasistów 2015

Zamieść link tekstowy do niniejszego artykułu na swojej stronie.