Pochodna funkcji złożonej

Teoria W niniejszym artykule zajmiemy się pochodną funkcji złożonej. Gdy poznasz zasady obliczania pochodnej takich funkcji, będziesz umiał obliczyć pochodną prawie każdej funkcji, z jakimi się spotkasz w szkole.

TwierdzenieTwierdzenie o pochodnej funkcji złożonej

Jeśli funkcja h jest złożeniem funkcji f z funkcją g i funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x, natomiast funkcja g jest różniczkowalna w punkcie y=f(x), to funkcja h jest różniczkowalna w punkcie x, a pochodna funkcji h jest równa:

h'(x)=g'(f(x))\cdot f'(x)

Można w skrócie powiedzieć, że pochodna funkcji złożonej jest równa iloczynowi pochodnej funkcji zewnętrznej i pochodnej funkcji wewnętrznej. Argumentem funkcji zewnętrznej jest f(x).

Zilustrujemy powyższe twierdzenie prostym przykładem za pomocą animacji.

Przykład Przykład


Przykład Przykład

Obliczmy pochodną funkcji: f(x)=\sqrt{\sin{x}}.

Mamy tutaj do czynienia z funkcją złożoną. Funkcją zewnętrzną jest tutaj pierwiastek, funkcją wewnętrzną - sinus. Obliczamy w pamięci najpierw pochodną funkcji zewnętrznej, a potem funkcji wewnętrznej. Pochodna funkcji złożonej stanowi iloczyn tych pochodnych.

f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{\sin{x}}}\cdot \cos{x}

Alternatywne rozwiązanie

Jeżeli masz kłopot w obliczaniu pochodnej funkcji złożonej w pamięci można stosować podstawienie.

f(x)=\sqrt{\sin{x}}\\ u=\sin{x}\\ f(u)=\sqrt{u}\\ u'=\cos{u}\\ f'(u)=\frac{1}{2\sqrt{u}}\\ f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{\sin{x}}}\cdot \cos{x}

© Media Nauka, 2010-09-13, ART-903



Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.


zadanie - ikonka Zadanie 477 - pochodna funkcji złożonej
Obliczyć pochodną funkcji:
a) f(x)=\sin{2x}
b) f(x)=\sqrt{x^3-2x+1}
c) f(x)=\sqrt[3]{1+x^2}

zadanie - ikonka Zadanie 480 - pochodna funkcji złożonej
Obliczyć pochodną funkcji:
a) f(x)=\sin{(\cos{x})}
b) f(x)=\sqrt{x^2+\sqrt{x}}

zadanie - ikonka Zadanie 482 - pochodna funkcji złożonej
Obliczyć pochodną funkcji
f(x)=\sin^2{x}\cdot \cos^2{x}

zadanie - ikonka Zadanie 483 - pochodna funkcji złożonej
Obliczyć pochodną funkcji
f(x)=\frac{\sin{2x}}{1+cos^2{x}}