logo
Szukaj w serwisie:
 
 

Pochodna funkcji złożonej

W niniejszym artykule zajmiemy się pochodną funkcji złożonej. Gdy poznasz zasady obliczania pochodnej takich funkcji, będziesz umiał obliczyć pochodną prawie każdej funkcji, z jakimi się spotkasz w szkole.

Twierdzenie o pochodnej funkcji złożonej

Jeśli funkcja h jest złożeniem funkcji f z funkcją g i funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x, natomiast funkcja g jest różniczkowalna w punkcie y=f(x), to funkcja h jest różniczkowalna w punkcie x, a pochodna funkcji h jest równa:

h'(x)=g'(f(x))\cdot f'(x)

Można w skrócie powiedzieć, że pochodna funkcji złożonej jest równa iloczynowi pochodnej funkcji zewnętrznej i pochodnej funkcji wewnętrznej. Argumentem funkcji zewnętrznej jest f(x)

Zilustrujemy powyższe twierdzenie prostym przykładem za pomocą animacji

Przykład


Przykład

Obliczmy pochodną funkcji: f(x)=\sqrt{\sin{x}}

Mamy tutaj do czynienia z funkcją złożoną. Funkcją zewnętrzną jest tutaj pierwiastek, funkcją wewnętrzną - sinus. Obliczamy w pamięci najpierw pochodną funkcji zewnętrznej, a potem funkcji wewnętrznej. Pochodna funkcji złożonej stanowi iloczyn tych pochodnych.f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{\sin{x}}}\cdot \cos{x}

Alternatywne rozwiązanie

Jeżeli masz kłopot w obliczaniu pochodnej funkcji złożonej w pamięci można stosować podstawienie.

f(x)=\sqrt{\sin{x}}\\ u=\sin{x}\\ f(u)=\sqrt{u}\\ u'=\cos{u}\\ f'(u)=\frac{1}{2\sqrt{u}}\\ f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{\sin{x}}}\cdot \cos{x}

© Media Nauka, 2010-09-13, ART00249/903


spis treści
Zadania
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.



Zadanie 477 - pochodna funkcji złożonej
Obliczyć pochodną funkcji:
a) f(x)=\sin{2x}
b) f(x)=\sqrt{x^3-2x+1}
c) f(x)=\sqrt[3]{1+x^2}

Zadanie 480 - pochodna funkcji złożonej
Obliczyć pochodną funkcji:
a) f(x)=\sin{(\cos{x})}
b) f(x)=\sqrt{x^2+\sqrt{x}}

Zadanie 482 - pochodna funkcji złożonej
Obliczyć pochodną funkcji
f(x)=\sin^2{x}\cdot \cos^2{x}

Zadanie 483 - pochodna funkcji złożonej
Obliczyć pochodną funkcji
f(x)=\frac{\sin{2x}}{1+cos^2{x}}




Poprzedni artykuł  Poprzedni artykuł 
Następny artykuł  Następny artykuł 


Bibliografia
Zgłoś błąd




Menu Matematyka
Słownik matematyczny

Zadania
Testy i quizy
Tablice
Narzędzia

www.e-pomoce.pl - banner
Lekcja: Pochodna
» Pochodna funkcji w punkcie - definicja
» Różniczkowalność a ciągłość funkcji
» Interpretacja geometryczna pochodnej
» Pochodna funkcji, obliczanie pochodnej funkcji
Pochodna funkcji złożonej
» Pochodna drugiego rzędu i dalsze pochodne
» Test kontrolny

Pozostało...
191 dni do matury 2015
Pozostało...
178 dni do egzaminu gimnazjalnego 2015
Pozostało...
158 dni do sprawdzianu szóstoklasistów 2015

Zamieść link tekstowy do niniejszego artykułu na swojej stronie.