logo
Szukaj w serwisie:
 
 

Pochodna funkcji złożonej

W niniejszym artykule zajmiemy się pochodną funkcji złożonej. Gdy poznasz zasady obliczania pochodnej takich funkcji, będziesz umiał obliczyć pochodną prawie każdej funkcji, z jakimi się spotkasz w szkole.

Twierdzenie o pochodnej funkcji złożonej

Jeśli funkcja h jest złożeniem funkcji f z funkcją g i funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x, natomiast funkcja g jest różniczkowalna w punkcie y=f(x), to funkcja h jest różniczkowalna w punkcie x, a pochodna funkcji h jest równa:

h'(x)=g'(f(x))\cdot f'(x)

Można w skrócie powiedzieć, że pochodna funkcji złożonej jest równa iloczynowi pochodnej funkcji zewnętrznej i pochodnej funkcji wewnętrznej. Argumentem funkcji zewnętrznej jest f(x)

Zilustrujemy powyższe twierdzenie prostym przykładem za pomocą animacji

Przykład


Przykład

Obliczmy pochodną funkcji: f(x)=\sqrt{\sin{x}}

Mamy tutaj do czynienia z funkcją złożoną. Funkcją zewnętrzną jest tutaj pierwiastek, funkcją wewnętrzną - sinus. Obliczamy w pamięci najpierw pochodną funkcji zewnętrznej, a potem funkcji wewnętrznej. Pochodna funkcji złożonej stanowi iloczyn tych pochodnych.f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{\sin{x}}}\cdot \cos{x}

Alternatywne rozwiązanie

Jeżeli masz kłopot w obliczaniu pochodnej funkcji złożonej w pamięci można stosować podstawienie.

f(x)=\sqrt{\sin{x}}\\ u=\sin{x}\\ f(u)=\sqrt{u}\\ u'=\cos{u}\\ f'(u)=\frac{1}{2\sqrt{u}}\\ f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{\sin{x}}}\cdot \cos{x}

© Media Nauka, 2010-09-13, ART00249/903


spis treści
Zadania
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.



Zadanie 477 - pochodna funkcji złożonej
Obliczyć pochodną funkcji:
a) f(x)=\sin{2x}
b) f(x)=\sqrt{x^3-2x+1}
c) f(x)=\sqrt[3]{1+x^2}

Zadanie 480 - pochodna funkcji złożonej
Obliczyć pochodną funkcji:
a) f(x)=\sin{(\cos{x})}
b) f(x)=\sqrt{x^2+\sqrt{x}}

Zadanie 482 - pochodna funkcji złożonej
Obliczyć pochodną funkcji
f(x)=\sin^2{x}\cdot \cos^2{x}

Zadanie 483 - pochodna funkcji złożonej
Obliczyć pochodną funkcji
f(x)=\frac{\sin{2x}}{1+cos^2{x}}




Poprzedni artykuł  Poprzedni artykuł 
Następny artykuł  Następny artykuł 


Bibliografia
Zgłoś błąd




Menu Matematyka
Słownik matematyczny

Zadania
Testy i quizy
Tablice
Narzędzia

www.e-pomoce.pl - banner
Lekcja: Pochodna
» Pochodna funkcji w punkcie - definicja
» Różniczkowalność a ciągłość funkcji
» Interpretacja geometryczna pochodnej
» Pochodna funkcji, obliczanie pochodnej funkcji
Pochodna funkcji złożonej
» Pochodna drugiego rzędu i dalsze pochodne
» Test kontrolny


Zamieść link tekstowy do niniejszego artykułu na swojej stronie.