logo
Szukaj w serwisie:
 
 

Pole i obwód trójkąta

Istnieje co najmniej kilka wzorów na pole trójkąta. Ich stosowanie zależy od danych jakie posiadamy i czasem od rodzaju trójkąta z jakim mamy do czynienia.

Pole trójkąta

Poniżej przedstawiony został podstawowy wzór na pole trójkąta:

Twierdzenie

Pole trójkąta wyraża się wzorem:

P=\frac{1}{2}ah

gdzie h jest wysokością trójkąta, natomiast a jest długością podstawy trójkąta, na którą została opuszczona wysokość.

Przykład

Obliczyć pole trójkąta przedstawionego na rysunku.

Rozwiązanie: Dana jest wysokośćh, opuszczona na bok trójkąta o długości 4. Stosujemy więc wzór na pole trójkąta:

P=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot h=2h

Twierdzenie

Pole trójkąta wyraża się wzorem:

P=\frac{1}{2}ab\sin{\gamma}

gdzie a, b są długościami boków trójkąta, a \gamma jest kątem między tymi bokami.

Przykład

Obliczyć pole trójkąta przedstawionego na rysunku.

Rozwiązanie: Mamy dane dwie długości boków i kąt między nimi. Możemy więc zastosować powyższy wzór. Sinus kąta 60° jest równy \frac{\sqrt{3}}{2}. Mamy więc:

P=\frac{1}{2}ab\sin{\gamma}=\frac{1}{2}\cdot 4 \cdot 5 \cdot \sin{60^o}=10\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}

Wzór Herona

Gdy dane są długości trzech boków trójkąta wzór na pole trójkąta przyjmuje następującą postać:

Twierdzenie

Pole trójkąta wyraża się wzorem:

P=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, \ p=\frac{a+b+c}{2}

gdzie a, b, c są długościami boków trójkąta.

Pole trójkąta wyrażone poprzez promienie
okręgu opisanego i wpisanego w trójkąt

Twierdzenie

Pole trójkąta wyraża się wzorem:

P=\frac{abc}{4R}

gdzie a, b, c są długościami boków trójkąta, R - długością promienia okręgu opisanego na trójkącie.

Twierdzenie

Pole trójkąta wyraża się wzorem:

P=pr=\frac{a+b+c}{2}\cdot r

gdzie a, b, c są długościami boków trójkąta, r - długością promienia okręgu wpisanego w trójkąt.

Pole trójkąta wyznaczonego przez dwa wektory

Twierdzenie

Pole trójkąta wyznaczonego przez dwa niezerowe wektory zaczepione we wspólnym początku jest równe połowie modułu wyznacznika tych wektorów.

W=\begin{vmatrix} a_x&a_y\\b_x&b_y \end{vmatrix}=a_xb_y-a_yb_x\\ P=\frac{1}{2}|W|

Przykład

Wyznaczyć pole trójkąta wyznaczonego przez wektory [-1,1] i [4,3].

Korzystamy z powyższego twierdzenia i obliczamy wyznacznik wektorów:

W=\begin{vmatrix} -1&1\\4&3 \end{vmatrix}=(-1)\cdot 3-1\cdot 4=-3-4=-7\\ P=|-7|=7

Pole trójkąta, gdy dane są współrzędne wierzchołków

Twierdzenie

Pole trójkąta o wierzchołkach P_1(x_1,y_1), \ P_2(x_2,y_2), \ P_3(x_3,y_3) wyraża się wzorem:

P=\begin{vmatrix} x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\x_3&y_3&1 \end{vmatrix}

Obwód trójkąta

Twierdzenie

Obwód trójkąta wyraża się wzorem:

L=a+b+c

gdzie a, b, c są długościami boków trójkąta.

© Media Nauka, 2010-12-18, ART00329/1056


spis treści
Zadania
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.



Zadanie 544 - długość odcinka i pole trójkąta
Obliczyć pole i obwód trójkąta prostokątnego, wyznaczonego przez punkty A=(1,2), B=(1,3), C=(4,1)

Zadanie 625 - pole trójkąta
Z kwadratu o boku a wycięto trójkąt tak, że jeden z jego wierzchołków stanowi środek boku kwadratu, a jeden z boków tego trójkąta stanowi bok kwadratu. Czy pole ścinków jest większe od pola trójkąta?

Zadanie 624 - pole trójkąta
Dany jest trójkąt A, B, C o wierzchołkach A=(-1,1), B=(2,1), C=(-2,-1). Oblicz jego pole.

Zadanie 623 - pole trójkąta, okrąg opisany na trójkącie
Na trójkącie o polu równym 6 i o bokach o długości 2,3 i 4 opisano okrąg. Oblicz długość promienia tego okręgu.

Zadanie 622 - Pole trójkąta
Dany jest trójkąt równoramienny o ramionach długości 5 i kącie wewnętrznym między tymi ramionami \alpha=30^o. Oblicz pole powierzchni tego trójkąta.

Zadanie 621 - pole trójkąta
Dany jest wektor \vec{AB}=[2,5] zaczepiony w punkcie A=(1,1). Znaleźć taki punkt C, leżący na prostej y=2, że pole trójkąta ABC jest równe 10.

Zadanie 620 - pole trójkąta
Wektory \vec{a}=[1,2], \ \vec{b}=[-3,4] wyznaczają trójkąt. Obliczyć jego pole.

Zadanie 619 - pole trójkąta
Dany jest trójkąt o bokach długości 2, 3 i 4. Oblicz pole powierzchni tego trójkąta.

Zadanie 618 - pole powierzchni i twierdzenie Pitagorasa
Ceny poszczególnych działek są następujące:
A: 60 000 PLN
B: 50 000 PLN
C: 50 000 PLN
D: 100 000 PLN
Zakup której działki jest najbardziej opłacalny?


Zadanie 617 - pole trójkąta
Środki trójkąta równobocznego o boku długości 2 połączono ze sobą tak, że powstał mniejszy trójkąt wewnątrz większego. Obliczyć jego pole.

Zadanie 616 - pole trójkąta
Oblicz pole powierzchni i obwód trójkąta równobocznego o wysokości h=2 cm

Zadanie 626 - pole trójkąta
W trójkąt równoramienny o polu \sqrt{15} wpisano okrąg o promieniu r=\frac{\sqrt{15}}{5}. Na tym samy trójkącie opisano okrąg o promieniu R=\frac{8\sqrt{15}}{15}. Oblicz długości boków tego trójkąta.




Poprzedni artykuł  Poprzedni artykuł 
Następny artykuł  Następny artykuł 


Bibliografia
Zgłoś błąd




Menu Matematyka
Słownik matematyczny

Zadania
Testy i quizy
Tablice
Narzędzia

www.e-pomoce.pl - banner
Lekcja: Twierdzenia o trójkącie i pole trójkąta
» Twierdzenie Pitagorasa
» Twierdzenia o trójkącie
Pole i obwód trójkąta
» Twierdzenie sinusów, cosinusów i tangensów
» Test kontrolny

Pozostało...
190 dni do matury 2015
Pozostało...
177 dni do egzaminu gimnazjalnego 2015
Pozostało...
157 dni do sprawdzianu szóstoklasistów 2015

Zamieść link tekstowy do niniejszego artykułu na swojej stronie.