logo
Szukaj w serwisie:
 
 

Pole i obwód trójkąta

Istnieje co najmniej kilka wzorów na pole trójkąta. Ich stosowanie zależy od danych jakie posiadamy i czasem od rodzaju trójkąta z jakim mamy do czynienia.

Pole trójkąta

Poniżej przedstawiony został podstawowy wzór na pole trójkąta:

Twierdzenie

Pole trójkąta wyraża się wzorem:

P=\frac{1}{2}ah

gdzie h jest wysokością trójkąta, natomiast a jest długością podstawy trójkąta, na którą została opuszczona wysokość.

Przykład

Obliczyć pole trójkąta przedstawionego na rysunku.

Rozwiązanie: Dana jest wysokośćh, opuszczona na bok trójkąta o długości 4. Stosujemy więc wzór na pole trójkąta:

P=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot h=2h

Twierdzenie

Pole trójkąta wyraża się wzorem:

P=\frac{1}{2}ab\sin{\gamma}

gdzie a, b są długościami boków trójkąta, a \gamma jest kątem między tymi bokami.

Przykład

Obliczyć pole trójkąta przedstawionego na rysunku.

Rozwiązanie: Mamy dane dwie długości boków i kąt między nimi. Możemy więc zastosować powyższy wzór. Sinus kąta 60° jest równy \frac{\sqrt{3}}{2}. Mamy więc:

P=\frac{1}{2}ab\sin{\gamma}=\frac{1}{2}\cdot 4 \cdot 5 \cdot \sin{60^o}=10\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}

Wzór Herona

Gdy dane są długości trzech boków trójkąta wzór na pole trójkąta przyjmuje następującą postać:

Twierdzenie

Pole trójkąta wyraża się wzorem:

P=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, \ p=\frac{a+b+c}{2}

gdzie a, b, c są długościami boków trójkąta.

Pole trójkąta wyrażone poprzez promienie
okręgu opisanego i wpisanego w trójkąt

Twierdzenie

Pole trójkąta wyraża się wzorem:

P=\frac{abc}{4R}

gdzie a, b, c są długościami boków trójkąta, R - długością promienia okręgu opisanego na trójkącie.

Twierdzenie

Pole trójkąta wyraża się wzorem:

P=pr=\frac{a+b+c}{2}\cdot r

gdzie a, b, c są długościami boków trójkąta, r - długością promienia okręgu wpisanego w trójkąt.

Pole trójkąta wyznaczonego przez dwa wektory

Twierdzenie

Pole trójkąta wyznaczonego przez dwa niezerowe wektory zaczepione we wspólnym początku jest równe połowie modułu wyznacznika tych wektorów.

W=\begin{vmatrix} a_x&a_y\\b_x&b_y \end{vmatrix}=a_xb_y-a_yb_x\\ P=\frac{1}{2}|W|

Przykład

Wyznaczyć pole trójkąta wyznaczonego przez wektory [-1,1] i [4,3].

Korzystamy z powyższego twierdzenia i obliczamy wyznacznik wektorów:

W=\begin{vmatrix} -1&1\\4&3 \end{vmatrix}=(-1)\cdot 3-1\cdot 4=-3-4=-7\\ P=|-7|=7

Pole trójkąta, gdy dane są współrzędne wierzchołków

Twierdzenie

Pole trójkąta o wierzchołkach P_1(x_1,y_1), \ P_2(x_2,y_2), \ P_3(x_3,y_3) wyraża się wzorem:

P=\begin{vmatrix} x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\x_3&y_3&1 \end{vmatrix}

Obwód trójkąta

Twierdzenie

Obwód trójkąta wyraża się wzorem:

L=a+b+c

gdzie a, b, c są długościami boków trójkąta.

© Media Nauka, 2010-12-18, ART00329/1056


spis treści
Zadania
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.



Zadanie 544 - długość odcinka i pole trójkąta
Obliczyć pole i obwód trójkąta prostokątnego, wyznaczonego przez punkty A=(1,2), B=(1,3), C=(4,1)

Zadanie 625 - pole trójkąta
Z kwadratu o boku a wycięto trójkąt tak, że jeden z jego wierzchołków stanowi środek boku kwadratu, a jeden z boków tego trójkąta stanowi bok kwadratu. Czy pole ścinków jest większe od pola trójkąta?

Zadanie 624 - pole trójkąta
Dany jest trójkąt A, B, C o wierzchołkach A=(-1,1), B=(2,1), C=(-2,-1). Oblicz jego pole.

Zadanie 623 - pole trójkąta, okrąg opisany na trójkącie
Na trójkącie o polu równym 6 i o bokach o długości 2,3 i 4 opisano okrąg. Oblicz długość promienia tego okręgu.

Zadanie 622 - Pole trójkąta
Dany jest trójkąt równoramienny o ramionach długości 5 i kącie wewnętrznym między tymi ramionami \alpha=30^o. Oblicz pole powierzchni tego trójkąta.

Zadanie 621 - pole trójkąta
Dany jest wektor \vec{AB}=[2,5] zaczepiony w punkcie A=(1,1). Znaleźć taki punkt C, leżący na prostej y=2, że pole trójkąta ABC jest równe 10.

Zadanie 620 - pole trójkąta
Wektory \vec{a}=[1,2], \ \vec{b}=[-3,4] wyznaczają trójkąt. Obliczyć jego pole.

Zadanie 619 - pole trójkąta
Dany jest trójkąt o bokach długości 2, 3 i 4. Oblicz pole powierzchni tego trójkąta.

Zadanie 618 - pole powierzchni i twierdzenie Pitagorasa
Ceny poszczególnych działek są następujące:
A: 60 000 PLN
B: 50 000 PLN
C: 50 000 PLN
D: 100 000 PLN
Zakup której działki jest najbardziej opłacalny?


Zadanie 617 - pole trójkąta
Środki trójkąta równobocznego o boku długości 2 połączono ze sobą tak, że powstał mniejszy trójkąt wewnątrz większego. Obliczyć jego pole.

Zadanie 616 - pole trójkąta
Oblicz pole powierzchni i obwód trójkąta równobocznego o wysokości h=2 cm

Zadanie 626 - pole trójkąta
W trójkąt równoramienny o polu \sqrt{15} wpisano okrąg o promieniu r=\frac{\sqrt{15}}{5}. Na tym samy trójkącie opisano okrąg o promieniu R=\frac{8\sqrt{15}}{15}. Oblicz długości boków tego trójkąta.




Poprzedni artykuł  Poprzedni artykuł 
Następny artykuł  Następny artykuł 


Bibliografia
Zgłoś błąd




Menu Matematyka
Zadania
Testy i quizy
Tablice
Narzędzia

Lekcja: Twierdzenia o trójkącie i pole trójkąta
» Twierdzenie Pitagorasa
» Twierdzenia o trójkącie
Pole i obwód trójkąta
» Twierdzenie sinusów, cosinusów i tangensów
» Test kontrolny

Pozostało...
70 dni do wakacji 2014
Pozostało...
4 dni do egzaminu gimnazjalnego 2014
Pozostało...
16 dni do matury 2014

Zamieść link tekstowy do niniejszego artykułu na swojej stronie.