Aksjomaty planimetrii

Planimetria jest działem geometrii (słowo „geometria” pochodzi od słów greckich: ge — ziemia i metreo — mierzę), która zajmuje się własnościami płaszczyzny i jej podzbiorów. Planimetria jest więc geometrią płaszczyzny. Planimetria zbudowana na jednej płaszczyźnie stosuje się do każdej innej płaszczyzny. Planimetria bada własności figur geometrycznych płaskich.

Przestrzeń, punkt, prosta, płaszczyzna

Zbiór wszystkich punktów to przestrzeń. Oznaczamy ją grecką literą omega — \(\Omega\).

Punkt, prosta, płaszczyzna są pojęciami podstawowymi, których się nie definiuje, a ich własności wynikają z aksjomatów (pewników, twierdzeń podstawowych, których się nie dowodzi).

Figura płaska jest to dowolny zbiór punktów zawartych w płaszczyźnie.

Aksjomat o przynależności punktów do prostej

Pęk prostych

Pęk prostych jest to rodzina prostych przechodzących przez jeden punkt, nazywanym wierzchołkiem pęku.

pęk prostych

Ilustracja przedstawia pęk prostych \(a, b, c, d, e, f, g\) o wierzchołku \(A\).

Aksjomat o dwóch punktach i prostej

Przez dwa różne punkty przechodzi jedna i tylko jedna prosta.

Prostą wyznaczoną przez punkty \(A\) i \(B\) oznaczamy przez \(AB\). Z powyższych dwóch aksjomatów wynika wzajemne położenie prostych. Możliwe są tutaj trzy przypadki: dwie proste nie mają punktu wspólnego, mają jeden punkt wspólny lub są identyczne (mają nieskończenie wiele punktów wspólnych).

Proste równoległe, przecinające się i pokrywające się — definicja

Proste \(a\) i \(b\) są równoległe, jeżeli nie mają punktu wspólnego. Używamy wówczas zapisu: \(a||b\).

proste równoległe


Proste \(a\) i \(b\) przecinają się, jeżeli mają jeden punkt wspólny. Możemy to zapisać następująco: \(a\cap b=\lbrace A\rbrace\) (częścią wspólną prostej \(a\) i \(b\) jest punkt \(A\)).

proste przecinające się

Proste \(a\) i \(b\) pokrywają się, jeżeli są identyczne, czyli \(a=b\). Proste te mają nieskończenie wiele punktów wspólnych. Możemy też powiedzieć, że prosta jest równoległa sama do siebie.

proste pokrywające się

Aksjomat Euklidesa

Przez każdy punkt przechodzi dokładnie jedna prosta równoległa do danej prostej.

Animacja

Animacja
Poniższa animacja jest ilustracją aksjomatu Euklidesa.


Kierunek prostej

Kierunek prostej jest to rodzina wszystkich prostych równoległych do danej prostej.

Uporządkowanie punktów na prostej

Aksjomat — porządkowanie punktów na prostej

Na prostej istnieją dokładnie dwa uporządkowania takie, że dla dowolnych punktów \(A, B, C\), należącej do tej prostej zachodzą warunki:

Prosta ma dwa naturalne uporządkowana: jedno, w którym \(A\) poprzedza \(B\) i przeciwne do niego, w którym \(B\) poprzedza \(A\).

Zwrot prostej

Każde uporządkowanie prostej nazywamy zwrotem prostej.

Współliniowość punktów — prawo trójkąta

Definicja

Punkty są współliniowe (kolinearne), jeżeli należą do jednej prostej.

Warunek konieczny i wystarczający niewspółliniowowści

Punkty \(A, B, C\) nie są współliniowe wtedy i tylko wtedy, gdy \(||AB|-|BC||<|AC|<|AB|+|BC|\).

Warunek konieczny i wystarczający współliniowowści

Punkty \(A, B, C\) są współliniowe wtedy i tylko wtedy, gdy \(|AC|=|AB|+|BC|\) lub \(|AC|=||AB|-|BC||\).

Gdy połączymy oba powyższe twierdzenia, otrzymamy:

Prawo trójkąta

Dla dowolnych punktów \(A, B, C\) zawsze zachodzi nierówność:

\(||AB|-|BC||\leq{}|AC|\leq{}|AB|+|BC|\)

Równość zachodzi w przypadku, gdy punkty są współliniowe.

Pytania

Gdzie znajdę wzory z planimetrii?

Aby znaleźć odpowiednie wzory z planimetrii, przejdź do naszego działu geometria i wybierz odpowiedni rodzaj figur płaskich (na przykład trójkąty, okrąg itp.)

Ćwiczenia

Ćwiczenia interakcyjne pomogą przygotować się na sprawdzian, test, egzamin, a ponadto usystematyzują wiedzę z danej dziedziny. To także świetny trening do matury. Wiele ćwiczeń to dobre zadania maturalne.



Zadania z rozwiązaniami

zadanie maturalne

Zadanie nr 1.

Ile różnych prostych wyznaczają cztery różne punkty na płaszczyźnie?

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 2.

Ile różnych prostych wyznacza n różnych punktów na płaszczyźnie, jeżeli żadne z trzech punktów nie są współliniowe?

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 3.

Sprawdzić, czy istnieją takie punkty \(A, B, C\), że

a) \(|AB|=10, |AC|=5, |BC|=5\)

b) \(|AB|=10, |AC|=4, |BC|=5\)

c) \(|AB|=10, |AC|=6, |BC|=5\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 4.

Sprawdzić, czy punkty \(A, B, C\) są współliniowe (kolinearne), jeżeli:

a) \(|AB|=7, |BC|=5,5 ,|AC|=1,5\)

b) \(|AB|=4+2\sqrt{3}, |BC|=2+\sqrt{3} ,|AC|=3\sqrt{3}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 5.

Zbadać, czy z odcinków o długości 5,3 i 1 można zbudować trójkąt.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 6.

Punkty \(A, B, C\) są współliniowe i \(|AB|=7, |BC|=6\). Jaką liczbą jest \(|AC|\)?

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 7.

Dane są odcinki o długościach \(|AB|=5, |BC|=8\). Jaką długość powinien mieć odcinek \(\overline{AC}\), aby można było zbudować trójkąt \(ABC\)?

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 8 — maturalne.

Z odcinków o długościach: \(5, 2a+1, a-1\) można zbudować trójkąt równoramienny. Wynika stąd, że

A. \(a=6\)

B. \(a=4\)

C. \(a=3\)

D. \(a=2\)

Pokaż rozwiązanie zadania.





Inne zagadnienia z tej lekcji


© medianauka.pl, 2010-10-10, A-973
Data aktualizacji artykułu: 2023-05-21



©® Media Nauka 2008-2023 r.