logo



Przedziały liczbowe

Teoria W matematyce często stosujemy tak zwane przedziały liczbowe. Określają one zakres liczb, które nas interesują. Jest to bardzo wygodny sposób zapisu podzbioru zbioru liczb rzeczywistych. Jeżeli interesuje nas zakres liczb od 0 do 1 włącznie, możemy to zapisać za pomocą przedziału domkniętego <0;1>. Jeżeli chcielibyśmy zapisać zbiór liczb większych od 0 i mniejszych od 1 możemy użyć przedziału otwartego (0;1). A oto bardziej ścisłe określenie pojęcia przedziałów:

Nazwa przedziałuOznaczenieDefinicja
przedział (obustronnie) otwarty(a;b)x \in(a;b)\Leftrightarrow\Leftrightarrowa < x < b
przedział (obustronnie) zamknięty (domknięty)<a;b>x \in<a;b >\Leftrightarrow a ≤ x ≤ b
przedział lewostronnie zamknięty (domknięty)<a;b)x \in<a;b) \Leftrightarrow a ≤ x < b
przedział prawostronnie zamknięty (domknięty)(a;b>x \in(a;b>\Leftrightarrow a < x ≤ b
przedziały nieograniczone (nieskończone)(-∞;a)
(a; ∞)
x \in(-∞;a)\Leftrightarrow x < a
x \in(a; ∞)\Leftrightarrow x > a

Teoria Przedziały mają swoją interpretację geometryczną. Poniższy rysunek ilustruje przedział domknięty <a;b> i otwarty (a;b):

interpretacja geometryczna przedziałów

Poniżej znajduje się interpretacja geometryczna przedziałów jednostronnie domkniętych.

interpretacja geometryczna przedziałów jednostronnie domknietych

Powyższy sposób graficznego przedstawiania przedziałów jest dobry, ale stwarza trudności podczas zaznaczania na osi wielu różnych przedziałów liczbowych. Stosujemy wówczas nieco inną, bardziej praktyczną metodę (jak na poniższym rysunku)

interpretacja geometryczna przedziałów

Na poniższym rysunku zilustrowano dwa przedziały liczbowe na jednej osi. Poprzez kreskowanie pól możemy łatwo wyznaczyć na przykład iloczyn (część wspólną) dwóch przedziałów. W poniższym przykładzie od razu widać, że częścią wspólną przedziałów (a;b> i (c;d) jest przedział (c;b>

Iloczyn przedziałów liczbowych

Pamiętajmy, że przedziały to zbiory liczb, więc stosujemy tutaj zasady działań na zbiorach (przypomnij sobie informacje na temat: sumy, różnicy oraz iloczynu zbiorów). Szczególnie często będziesz korzystał z sumy i iloczynu przedziałów liczbowych przy okazji rozwiązywania układów równań i nierówności. Poniżej zamieszczono kilka przykładów działań na przedziałach.

Przykład Przykład 1


przedziały liczbowe

Suma przedziałów
(-2;2>\cup(0;4) = (-2;4)
Iloczyn przedziałów
(-2;2>\cap(0;4) = (0;2>
Różnica przedziałów
(-2;2> \ (0;4) = (-2;0>
- zero należy do przedziału (-2;2>, ale nie należy do przedziału (0;4), więc należy do różnicy tych przedziałów w myśl definicji, że element należy do różnicy zbiorów, jeżeli należy do pierwszego zbioru i nie należy do zbioru drugiego
(0;4) \ (-2;2> = (2;4)
liczba 2 należy do przedziału (-2;2>, a więc nie może należeć do rozpatrywanej różnicy przedziałów
W przypadku wyznaczania różnicy przedziałów zmienia się w niektórych przypadkach rodzaj przedziału z domkniętego na otwarty i odwrotnie.

Przykład Przykład 2


Przedziały liczbowe
Suma przedziałów
<-2;4)\cup(0;2> = <-2;4)
Iloczyn przedziałów
<-2;4)\cap(0;2> = (0;2>
Różnica przedziałów
<-2;4) \ (0;2> = <-2;0>\cup(2;4)
(0;2> \ < -2;4) = Ø (zbiór pusty)

Przykład Przykład


Przedziały liczbowe
Suma przedziałów
<-2;0)\cup<0;∞) = < -2;∞)
Iloczyn przedziałów
< -2;0)\cap< 0;∞) = {0}
Różnica przedziałów
<-2;0) \ < 0;∞) = <-2;0)
<0;∞) \ < -2;0) = <0;∞)

© Media Nauka, 2008-10-23, ART00047/90



Zadania

spis treści
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.


zadanie - ikonka Zadanie 422 - przedziały liczbowe
Zaznacz na osi liczbowej zbiór (-5;-2\rangle \cup (-1;5\rangle oraz \langle -6;-3) \cup \langle 0;1\rangle. Zaznacz na osi część wspólną tych zbiorów oraz zapisz wynik za pomocą przedziału liczbowego.

zadanie - ikonka Zadanie 423 - działania na przedziałach liczbowych
Znaleźć sumę, iloczyn oraz różnicę zbiorów \langle-3;3)\ i \ (-4;2\rangle

zadanie - ikonka Zadanie 424 - działania na przedziałach liczbowych
Znaleźć sumę, iloczyn oraz różnicę zbiorów (-1;1)\ i \ \langle 2;3)

zadanie - ikonka Zadanie 425 - przedziały liczbowe
Zapisać za pomocą przedziału liczbowego zbiór wszystkich x, które spełniają układ:
\begin{cases}x\geq -1\\ x>-2 \\ x<3 \end{cases}