logo



Równania z wartością bezwzględną

Równania z wartością bezwzględną to takie równania, w których niewiadoma znajduje się pod wartością bezwzględną. Tutaj zajmiemy się wyłącznie równaniami pierwszego stopnia.

Rozwiązywanie równań z wartością bezwzględną

Teoria Rozwiązywanie równania z wartością bezwzględną wymaga rozpatrywania kilku przypadków. Wynika to bezpośrednio z definicji wartości bezwzględnej.
Zgodnie z definicją:

|x|=\begin{cases}x\text{ dla x\geq 0}\\-x\text{ dla x<0}\end{cases}

Należy więc rozpatrzyć co najmniej dwa przypadki.

Przykład Przykład

Rozwiązać równanie: |x|-1=0.
1) Dla x\geq{0} mamy |x|=x, więc:
|x|-1=0\Rightarrow{x-1=0}\Leftrightarrow{x=1}
Spełnione jest założenie, więc liczba 1 jest pierwiastkiem równania.

2) Dla x<0 mamy z definicji wartości bezwzględnej |x|=-x, więc:
|x|-1=0\Rightarrow{-x-1=0}\Leftrightarrow{x=-1}
Spełnione jest założenie (x<0), więc liczba -1 jest pierwiastkiem równania.

Odpowiedź: Pierwiastkami równania |x|-1=0 są liczby -1 i 1.

Naszkicujmy wykres funkcji y=|x|-1.

wykres funkcji y=|x|-1

Jak widać wykres tej funkcji ma dwa miejsca zerowe, są to jednocześnie pierwiastki rozpatrywanego równania.

Przykład Przykład

Rozwiązać równanie: |x|+1=0.
1) Dla x\geq{0} mamy |x|=x, więc:
x+1=0\\{x=-1}
Niestety nie jest spełnione założenie x\geq{0}, więc liczba -1 nie jest pierwiastkiem równania.

2) Dla x<0 mamy z definicji wartości bezwzględnej |x|=-x, więc:
-x+1=0\\{x=1}

I znów nie jest spełnione jest założenie (x<0), więc liczba 1 nie jest pierwiastkiem równania.

Odpowiedź: Równanie nie ma rozwiązań; jest sprzeczne.

Naszkicujmy wykres funkcji y=|x|+1.

wykres funkcji y=|x|-1

Jak się należało spodziewać, wykres tej funkcji nie ma miejsc zerowych.

Teoria W przypadku gdy pod wartością bezwzględną znajduje się całe wyrażenie zawierające zmienną, rozpatrujemy przypadki, gdy całe to wyrażenie przyjmuje różne znaki. Ilustruje to poniższy przykład.

Przykład Przykład

Rozwiązać równanie: |x+1|+x=1

1) Dla x+1\geq{0}\Leftrightarrow{x\geq{-1}} otrzymujemy równanie:

x+1+x=1\\{2x=0}\\{x=0}

2) Dla x+1<0\Leftrightarrow{x<-1} otrzymujemy równanie:

-x-1+x=1\\{-1=1}

Otrzymaliśmy sprzeczność.

Odpowiedź: Równanie ma jeden pierwiastek x=0

Teoria Jeżeli w równaniu pojawia się więcej wartości bezwzględnych,
np. |x+1|-x=|x|-1, wówczas musimy rozpatrywać odpowiednio więcej przypadków (kiedy obie wartości pod wartościami bezwzględnymi są ujemne, obie dodatnie oraz jedna z nich dodatnia, druga ujemna i odwrotnie).

© Media Nauka, 2009-06-26, ART00137/249



Zadania

spis treści
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.


zadanie - ikonka Zadanie 61 - równanie z wartością bezwzględną
Rozwiązać równanie |x+1|-|x-1|=5.

zadanie - ikonka Zadanie 265 - nierówność liniowa z wartością bezwzględną
Rozwiązać nierówność 2-|x+1|>3+x

zadanie - ikonka Zadanie 266 - nierówność z wartością bezwzględną
Rozwiązać nierówność |2x+1|>3

zadanie - ikonka Zadanie 276 - równanie liniowe z wartością bezwzględną
Rozwiązać równanie |-3x+1|=2x+4

zadanie - ikonka Zadanie 277 - równanie liniowe z wartością bezwzględną
Rozwiązać równanie \frac{|x|}{3}-1=2x

zadanie - ikonka Zadanie 621 - pole trójkąta
Dany jest wektor \vec{AB}=[2,5] zaczepiony w punkcie A=(1,1). Znaleźć taki punkt C, leżący na prostej y=2, że pole trójkąta ABC jest równe 10.