logo
Szukaj w serwisie:
 
 

Równania z wartością bezwzględną

Równania z wartością bezwzględną to takie równania, w których niewiadoma znajduje się pod wartością bezwzględną. Tutaj zajmiemy się wyłącznie równaniami pierwszego stopnia.

Rozwiązywanie równań z wartością bezwzględną

Rozwiązywanie równania z wartością bezwzględną wymaga rozpatrywania kilku przypadków. Wynika to bezpośrednio z definicji wartości bezwzględnej.
Zgodnie z definicją:

|x|=\begin{cases}x\text{ dla x\geq 0}\\-x\text{ dla x<0}\end{cases}

Należy więc rozpatrzyć co najmniej dwa przypadki.

Przykład

Rozwiązać równanie: |x|-1=0.
1) Dla x\geq{0} mamy |x|=x, więc:
|x|-1=0\Rightarrow{x-1=0}\Leftrightarrow{x=1}
Spełnione jest założenie, więc liczba 1 jest pierwiastkiem równania.

2) Dla x<0 mamy z definicji wartości bezwzględnej |x|=-x, więc:
|x|-1=0\Rightarrow{-x-1=0}\Leftrightarrow{x=-1}
Spełnione jest założenie (x<0), więc liczba -1 jest pierwiastkiem równania.

Odpowiedź: Pierwiastkami równania |x|-1=0 są liczby -1 i 1.

Naszkicujmy wykres funkcji y=|x|-1.

wykres funkcji y=|x|-1

Jak widać wykres tej funkcji ma dwa miejsca zerowe, są to jednocześnie pierwiastki rozpatrywanego równania.

Przykład

Rozwiązać równanie: |x|+1=0.
1) Dla x\geq{0} mamy |x|=x, więc:
x+1=0\\{x=-1}
Niestety nie jest spełnione założenie x\geq{0}, więc liczba -1 nie jest pierwiastkiem równania.

2) Dla x<0 mamy z definicji wartości bezwzględnej |x|=-x, więc:
-x+1=0\\{x=1}

I znów nie jest spełnione jest założenie (x<0), więc liczba 1 nie jest pierwiastkiem równania.

Odpowiedź: Równanie nie ma rozwiązań; jest sprzeczne.

Naszkicujmy wykres funkcji y=|x|+1.

wykres funkcji y=|x|-1

Jak się należało spodziewać, wykres tej funkcji nie ma miejsc zerowych.

W przypadku gdy pod wartością bezwzględną znajduje się całe wyrażenie zawierające zmienną, rozpatrujemy przypadki, gdy całe to wyrażenie przyjmuje różne znaki. Ilustruje to poniższy przykład.

Przykład

Rozwiązać równanie: |x+1|+x=1

1) Dla x+1\geq{0}\Leftrightarrow{x\geq{-1}} otrzymujemy równanie:

x+1+x=1\\{2x=0}\\{x=0}

2) Dla x+1<0\Leftrightarrow{x<-1} otrzymujemy równanie:

-x-1+x=1\\{-1=1}

Otrzymaliśmy sprzeczność.

Odpowiedź: Równanie ma jeden pierwiastek x=0

Jeżeli w równaniu pojawia się więcej wartości bezwzględnych,
np. |x+1|-x=|x|-1, wówczas musimy rozpatrywać odpowiednio więcej przypadków (kiedy obie wartości pod wartościami bezwzględnymi są ujemne, obie dodatnie oraz jedna z nich dodatnia, druga ujemna i odwrotnie).

© Media Nauka, 2009-06-26, ART00137/249


spis treści
Zadania
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.



Zadanie 61 - równanie z wartością bezwzględną
Rozwiązać równanie |x+1|-|x-1|=5.

Zadanie 265 - nierówność liniowa z wartością bezwzględną
Rozwiązać nierówność 2-|x+1|>3+x

Zadanie 266 - nierówność z wartością bezwzględną
Rozwiązać nierówność |2x+1|>3

Zadanie 276 - równanie liniowe z wartością bezwzględną
Rozwiązać równanie |-3x+1|=2x+4

Zadanie 277 - równanie liniowe z wartością bezwzględną
Rozwiązać równanie \frac{|x|}{3}-1=2x

Zadanie 621 - pole trójkąta
Dany jest wektor \vec{AB}=[2,5] zaczepiony w punkcie A=(1,1). Znaleźć taki punkt C, leżący na prostej y=2, że pole trójkąta ABC jest równe 10.




Poprzedni artykuł  Poprzedni artykuł 
Następny artykuł  Następny artykuł 


Bibliografia
Zgłoś błąd




Menu Matematyka
Słownik matematyczny

Zadania
Testy i quizy
Tablice
Narzędzia

www.e-pomoce.pl - banner
Lekcja: Równania liniowe
» Równanie liniowe z jedną niewiadomą
» Rozwiązywanie równań liniowych
Rozwiązywanie równań z wartością bezwzględną
» Test kontrolny

Pozostało...
223 dni do matury 2015
Pozostało...
210 dni do egzaminu gimnazjalnego 2015
Pozostało...
190 dni do sprawdzianu szóstoklasistów 2015

Zamieść link tekstowy do niniejszego artykułu na swojej stronie.