Równanie

Co to jest równanie?

Równanie z jedną niewiadomą jest to forma zdaniowa w postaci:

\(f(x)=g(x)\)

gdzie \(f(x)\), \(g(x)\) oznaczają funkcje zmiennej rzeczywistej. Zmienną \(x\) nazywamy niewiadomą.

Przykłady równań

Oto przykłady kilku równań:

\(x=5\)
\({x+1=0}\)
\({-x+1=2x+44}\)
\({x^3+x^4=1+x^2}\)
\(\sqrt{x}+1=\sin{x}\)
\(\frac{x^4-\sqrt{\frac{1}{x+1}}}{log_2{x-1}}+1=\sin{(x-\sqrt{1+2x})}\)
\({m^2=2m-1}\) - tutaj niewiadomą jest \(m\).

Dziedzina równania

Dziedzina równania \(f(x)=g(x)\) jest to część wspólna dziedzin funkcji \(f, g\).

Przykłady

Jaka jest dziedzina równania \(\sqrt{x}=\frac{1}{x}\)?

Dziedziną funkcji \(\sqrt{x}\) jest \(\mathbb{R}_+\cup \lbrace 0 \rbrace\), a funkcji \(\frac{1}{x}\) jest zbiór \(\mathbb{R}\setminus \lbrace 0\rbrace\). Zatem dziedziną tego równania jest \(\mathbb{R}_+\).

Zadanie

Znaleźć dziedzinę równania \(\sqrt{x-2}=3\).

Rozwiązanie:

\(x-2\geq{0}\)

\( {x}\geq{2}\)

Odpowiedź: Dziedziną tego równania jest zbiór \(\langle{2};{+\infty)}\).

Rozwiązywanie równań

Co to jest rozwiązanie lub pierwiastek równania matematycznego? Jak rozwiązać równanie?

Rozwiązanie równania (pierwiastek równania) jest to każda liczba, która spełnia to równanie. Co to oznacza? Jeżeli rozwiązanie równania wstawimy do równania za zmienną (niewiadomą), to otrzymamy zdanie prawdziwe.

Zbiór rozwiązań równania jest to zbiór utworzony ze wszystkich rozwiązań tego równania.

Aby rozwiązać równanie, należy znaleźć jego zbiór rozwiązań.

Przykład 1

Sprawdź, czy podana liczba jest rozwiązaniem równania \(2x-1=0\).

a) \(x=1\)

Podstawiamy za niewiadomą w równaniu liczbę 1:

\(2\cdot 1-1=0\)

\(1=0\)

Otrzymaliśmy zdanie fałszywe, a zatem liczba 1 nie jest rozwiązaniem tego równania.

b) \(x=\frac{1}{2}\)

Podstawiamy za niewiadomą w równaniu liczbę 1:

\(2\cdot \frac{1}{2}-1=0\)

\(0=0\)

Otrzymaliśmy zdanie prawdziwe, a zatem liczba 1 jest rozwiązaniem tego równania.

Mówimy też, że podana liczba spełnia dane równanie lub go nie spełnia.

Przykład 2

Zbadajmy równanie \(x^2-2=2\).
Możemy odgadnąć, że jednym z rozwiązań jest liczba \(2\). Sprawdźmy to: zdanie \(2^2-2=2\) jest prawdziwe. Ale liczba \(-2\) też spełnia to równanie. Zbiór rozwiązań tego równania to \(\lbrace -2,2 \rbrace\).

Równania równoważne

Równania są równoważne, jeżeli mają ten sam zbiór rozwiązań.

Przykłady

Oto przykłady równań równoważnych:

\(x=1\) i \(2x=2\)
\(x=2\) i \(x+1=3\)
\(x-1=2\) i \(x+1=4\)
\(x+1=2\) i \(x-1=0\)

Równania sprzeczne

Jeżeli równanie nie ma rozwiązań (zbiorem rozwiązań jest zbiór pusty), to takie równanie nazywamy sprzecznym.

Przykłady

Oto przykłady równań sprzecznych:

\(x-1=x+1\)
\(x^2=-1\)
\(11-3x=-3x\)

Równania tożsamościowe

Jeżeli równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań, to równanie takie nazywamy tożsamościowym.

Oto przykłady równań tożsamościowych:

\(x+1=x+1\)
\(-x=-x\)

Jeżeli równanie nie ma rozwiązania, to znaczy, że nie istnieje taka liczba, która podstawiona pod niewiadomą \(x\) spełni daną równość.

Układy równań

Jeżeli liczby mają spełniać kilka równań jednocześnie, to wówczas mówimy o układach równań. Układy równań omawiamy w osobnych artykułach.

Pytania

Jak sprawdzić, czy podana liczba spełnia równanie?

Aby sprawdzić, czy podana liczba spełnia równanie, należy podstawić za niewiadomą tę właśnie liczbę i sprawdzić, czy równanie jest prawdziwe.

Na przykład, aby sprawdzić, czy liczba 1 spełnia równanie \(x-1=0\), obliczamy \(1-1=0\), co daje nam zdanie prawdziwe \(0=0\). Liczba 1 spełnia więc nasze równanie.

Jak rozwiązać równanie?

Trzeba znaleźć taką wartość niewiadomej, dla której równanie jest prawdziwe. Teoretycznie można odgadnąć wartość \(x\). Na przykład od razu można odgadnąć, że rozwiązaniem równia \(x-1=1\) jest liczba \(2\), bo \(2-1=1\).

Lepiej jednak stosować pewne metody rozwiązywania równań, gdyż mamy wówczas możliwość rozwiązania praktycznie każdego równania i mamy pewność, że znaleźliśmy wszystkie rozwiązania.

Poniżej przedstawiamy linki do artykułów, w których pokazujemy jak rozwiązywać różne typy równań:

Ile rozwiązań ma równanie?

Czasami równanie nie ma rozwiązań (na przykład \(x^2+1=0\)). Czasem ma ich nieskończenie wiele (na przykład \(x+1=2x+2\)). Równanie może mieć jedno lub wiele rozwiązań. Liczba rozwiązań zależy od stopnia równania. Równanie n-tego stopnia (najwyższa potęga niewiadomej) ma co najwyżej \(n\) rozwiązań.

Kiedy równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań? Kiedy mamy do czynienia z równaniem tożsamościowym.

Co to jest pierwiastek równania?

Pierwiastek równania to inaczej jego rozwiązanie.

Ćwiczenia

Ćwiczenia interakcyjne pomogą przygotować się na sprawdzian, test, egzamin, a ponadto usystematyzują wiedzę z danej dziedziny. To także świetny trening do matury. Wiele ćwiczeń to dobre zadania maturalne.