logo



Równanie

wiadomości podstawowe

Teoria Równanie z jedną niewiadomą jest to forma zdaniowa w postaci:

f(x)=g(x)

gdzie f, g oznaczają funkcje zmiennej rzeczywistej. Zmienną x nazywamy niewiadomą.

Przykład Przykład

Przykłady równań:
x=5\\{x+1=0}\\{-x+1=2x+44}\\{x^3+x^4=1+x^2}\\{\sqrt{x}+1=sinx}\\{\frac{x^4-\sqrt{\frac{1}{x+1}}}{log_2{x-1}}+1=\sin{x-sqrt{1+2x}}\\{m^2+m=2m-1}
(tutaj niewiadomą jest m).

Teoria Dziedzina równania f(x)=g(x) jest to część wspólna dziedzin funkcji f, g.

Przykład Przykład

Jaka jest dziedzina równania \sqrt{x}=\frac{1}{x}?

Dziedziną funkcji \sqrt{x} jest {R_+}\cup{\lbrace}{0}\rbrace, a funkcji \frac{1}{x} jest zbiór {R\backslash}\lbrace{0}\rbrace. Zatem dziedziną tego równania jest zbiór liczb rzeczywistych dodatnich R_{+}.

zadanie Zadanie

Znaleźć dziedzinę równania \sqrt{x-2}=3.

Rozwiązanie:
x-2\geq{0}\\{x}\geq{2}

Odpowiedź: Dziedziną tego równania jest zbiór \langle{2};{+\infty)}.

TeoriaRozwiązanie równania (pierwiastek równania) jest to każda liczba, która spełnia to równanie. Zbiór rozwiązań równania jest to zbiór utworzony ze wszystkich rozwiązań tego równania. Aby rozwiązać równanie należy znaleźć jego zbiór rozwiązań.

Przykład Przykład

Zbadajmy równanie x2-2=2.
Możemy odgadnąć, że jednym z rozwiązań jest liczba 2. Sprawdźmy to: zdanie 22-2=2 jest prawdziwe. Ale liczba -2 też spełnia to równanie. Zbiór rozwiązań tego równania to {-2,2}.

Teoria Równania są równoważne jeżeli mają ten sam zbiór rozwiązań.
Jeżeli równanie nie ma rozwiązań (zbiorem rozwiązań jest zbiór pusty), to takie równanie nazywamy sprzecznym.
Jeżeli równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań, to równanie takie nazywamy tożsamościowym.

Przykład Przykład

Przykład równań równoważnych: x+1=2 i x-1=0. W Obu równaniach zbiorem rozwiązań jest zbiór {1}.
Przykład równania tożsamościowego: x+1=x+1. Równanie jest spełnione dla każdej liczby rzeczywistej.
Przykład równania sprzecznego: x+1=x. Równanie nie ma rozwiązania, to znaczy nie istnieje taka liczba, która podstawiona pod niewiadomą x spełni daną równość.

© Media Nauka, 2009-06-21, ART00128/238



Zadania

spis treści
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.


zadanie - ikonka Zadanie 278 - dziedzina równania
Znaleźć dziedzinę równania:
x=\frac{1}{\sqrt{x}}
b) \frac{x}{2x+1}=\frac{1}{x^2-4x+4}