Równanie pierwiastkowe

Jeżeli niewiadoma występuje pod pierwiastkiem, to równanie nazywamy równaniem pierwiastkowym.

Aby rozwiązać równanie pierwiastkowe, stosujemy metodę analizy starożytnych. Podnosimy obie strony równania do potęgi, odpowiadającej stopniowi pierwiastka. Zawsze należy pamiętać o sprawdzeniu, czy pierwiastek spełnia dane równanie.

Przykład

Rozwiązać równanie \(x+\sqrt{8-4x}=2\).

Zaczynamy od pozostawienia po jednej stronie równania tylko pierwiastka.

\(\sqrt{8-4x}=2-x\)

Następnie podnosimy obie strony równania do drugiej potęgi.

\(8-4x=(2-x)^2\)

\(8-4x=4-4x+x^2\)

\(x^2-4=0\)

\((x-2)(x+2)=0\)

Równanie to ma dwa pierwiastki:

\(x_1=2,\quad{x_2=-2}\)

Sprawdzamy, czy pierwiastki te spełniają równanie wyjściowe:

\(2+\sqrt{8-4\cdot{2}}=2\)

\(-2+\sqrt{8-4\cdot(-2)}=-2+\sqrt{16}=-2+4=2\)

Zatem oba pierwiastki są rozwiązaniem równania \(x+\sqrt{8-4x}=2\).

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1.

Rozwiązać równanie \(\sqrt{-x}=4\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Rozwiązać równanie \(\sqrt{x-1}=x+1\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Rozwiązać równanie \(\sqrt{x+1}=x+1\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Rozwiązać równanie \(\sqrt{x^2-2x+4}=x-4\).

Pokaż rozwiązanie zadania.