logo
Szukaj w serwisie:
 
 

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ

Metoda równań równoważnych

Metoda równań równoważnych polega na przekształcaniu równania w taki sposób, aby każde kolejne było równoważne danemu i łatwiejsze do rozwiązania. Możemy korzystać z następujących twierdzeń:

Twierdzenie

Dla każdego c prawdziwa jest równoważność: a=b\Leftrightarrow{a+c=b+c}

Z powyższego twierdzenia wynika, że do obu stron równania możemy dodać dowolną liczbę lub całe wyrażenie i otrzymamy równanie równoważne. Jeżeli od każdej ze stron równania odejmujemy liczbę, to korzystamy wówczas z tego samego twierdzenia (dodajemy liczbę przeciwną do obu stron równania).

Przykład

Dane jest równanie: x+3=x^2-2.
Jeżeli do obu stron równania dodamy liczbę 2, to otrzymamy:
x+3+2=x^2
Otrzymaliśmy równanie równoważne. Wygląda tak, jakbyśmy liczbę 2 z prawej strony równania przenieśli ze znakiem przeciwnym na lewą stronę równania.

Często zamiast mówić, że do obu stron dodajemy wyrażenie lub liczbę mówimy, że przenosimy je na drugą stronę równania ze znakiem "minus". Przenosić możemy liczby, niewiadomą i całe wyrażenia.

Przykład

Rozwiązać równanie: 3x-3=2x-1
Do obu stron równania dodajemy liczbę 3 (lub łatwiej powiedzieć: przenosimy liczbę 3 na drugą stronę):
3x=2x-1+3\\{3x=2x+2}
Do obu stron równania dodajemy -2x (lub łatwiej powiedzieć: przenosimy 2x na drugą stronę):
3x-2x=2\\{x=2}
Otrzymaliśmy rozwiązanie: x=2

Dobrym zwyczajem jest dokonanie sprawdzenia poprawności wyniku. Wystarczy za niewiadomą x do równania wyjściowego podstawić wynik.
Sprawdzenie:
3\cdot{2-3=2{\cdot}2-1}\\{3=3}

Przykład



Twierdzenie

Dla każdego c\neq{0} prawdziwa jest równoważność: a=b\Leftrightarrow{a}\cdot{c=b}\cdot{c}

Z powyższego twierdzenia wynika, że obie strony równania możemy pomnożyć (a więc i podzielić, czyli pomnożyć przez odwrotność tej liczby) przez dowolną liczbę różną od zera lub całe wyrażenie, które nie przyjmuje wartości zero i otrzymamy wówczas równanie równoważne.
Aby śledzić tok rachunków, działanie takie zwykle zapisujemy za równaniem po ukośniku.

Przykład

Rozwiązujemy równanie:
3x=6\quad{/:3} (dzielimy obie strony równania przez 3)
x=2

© Media Nauka, 2009-06-22, ART00130/240


spis treści
Zadania
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.



Zadanie 798 - cegła, równanie z jedną niewiadomą
Cegła waży kilogram i pół cegły. Ile waży cegła?




Poprzedni artykuł  Poprzedni artykuł 
Następny artykuł  Następny artykuł 


Bibliografia
Zgłoś błąd




Menu Matematyka
Zadania
Testy i quizy
Tablice
Narzędzia

Lekcja: Równania i nierówności - podstawowe informacje
» Równanie - wiadomości ogólne
» Nierówność - wiadomości podstawowe
Rozwiązywanie równań - metoda równań równoważnych
» Rozwiązywanie nierówności - metoda nierówności równoważnych
» Metoda analizy starożytnych
» Test kontrolny

Pozostało...
66 dni do wakacji 2014
Pozostało...
0 dni do egzaminu gimnazjalnego 2014
Pozostało...
12 dni do matury 2014

Zamieść link tekstowy do niniejszego artykułu na swojej stronie.