logo



Rozwiązywanie układu równań

Metoda podstawiania

Teoria Jedną z metod rozwiązywania układów równań jest metoda podstawiania, która polega na wyznaczeniu w jednym z równań układu jednej niewiadomej poprzez drugą niewiadomą i wstawieniu tak otrzymanego wyrażenia do drugiego równania. Układ złożony z wyznaczonego równania i przekształconego drugiego równania będzie układem równoważnym do danego. Układ równoważny otrzymamy także wówczas, jeżeli dowolne równanie układu zastąpimy równaniem równoważnym.

Poniższa animacja ilustruje opisywaną wyżej metodę rozwiązywania układu równań.

Przykład Przykład


A oto przykłady na układy równań sprzecznych i zależnych:

Przykład Przykład

\begin{cases}x-y=0\\y-x=1\end{cases}\\{\begin{cases}x=y\\y-y=1\end{cases}}\\{\begin{cases}x=y\\0=1\end{cases}}

Rozpatrywany układ jest układem równań sprzecznych.

Przykład Przykład

\begin{cases}x-y=0\\2x-2y=0\end{cases}\\{\begin{cases}x=y\\2y-2y=0\end{cases}}\\{\begin{cases}x=y\\0=0\end{cases}}

Rozpatrywany układ jest układem równań zależnych.

Teoria Metodą podstawiania możemy rozwiązywać także układy trzech, czterech i większej liczby równań. Warto jednak zwrócić uwagę na to, aby podczas wybierania równań do wyznaczania zmiennych wybierać możliwie najprostsze równania w celu ułatwienia rachunków. Metoda ta jest metodą najczęściej wykorzystywaną przez uczniów w szkołach ze względu na swoją prostotę. Niestety bywa nieefektywna. Warto zapoznać się z metodą przeciwnych współczynników, często stosowaną razem z metodą podstawiania oraz z metodą wyznaczników, która w skomplikowanych układach, w szczególności z parametrem daje najszybsze efekty.

© Media Nauka, 2009-07-08, ART00144/262



Zadania

spis treści
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.


zadanie - ikonka Zadanie 243 - układ równań - metoda podstawiania
Rozwiązać układ równań metodą podstawiania:
a) \begin{cases} 3x-2y=-4 \\ x+3y=-5\end{cases}
b) \begin{cases} \sqrt{3}x+4y=1\\ x+2\sqrt{3}y=\sqrt{3}\end{cases}

zadanie - ikonka Zadanie 245 - układ równań - metoda podstawiania
Rozwiązać układ równań metodą podstawiania:
a) \begin{cases} y-3x=2\\ -2y+6x=1 \end{cases}
b) \begin{cases} 2x+\frac{1}{2}y=\frac{1}{3}\\ -12x-3y=-2 \end{cases}