logo
Szukaj w serwisie:
 
 

Rozwiązywanie układu równań

Metoda wyznacznikowa (wyznaczników)

Jedną z metod rozwiązywania układów równań jest metoda wyznaczników. Metoda ta należy do najefektywniejszych metod rozwiązywania układów równań, szczególnie z parametrem. Zanim jednak zostanie omówiona ta metoda należy zapoznać się z pojęciem wyznacznika.

Definicja

Różnicę iloczynów ad-bc nazywamy wyznacznikiem drugiego stopnia i oznaczamy go w następujący sposób: W=\left|\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right|

Liczby w wyznaczniku mnożymy "na krzyż" tak jak to pokazuje poniższa animacja:


Przykład

W=\left|\begin{array}{cc}1&2\\3&4\end{array}\right|=1\cdot{4}-2\cdot{3}=4-6=-2\\{W=\left|\begin{array}{cc}5&-2\\4&3\end{array}\right|=5\cdot{3}-(-2\cdot{4})=15+8=23}\\{W=\left|\begin{array}{cc}0&4\\0&3\end{array}\right|=0\cdot{3}-4\cdot{0}=0-0=0}

Dany jest układ równań:

\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1\\a_2x+b_2y=c_2\end{cases}

Wyznacznik układu jest to:

W=\left|\begin{array}{cc}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{array}\right|

Zapisujemy więc w wyznaczniku kolejno wszystkie liczby przy niewiadomych w odpowiedniej kolejności.

Wyznacznik ze względu na x jest to:

W_x=\left|\begin{array}{cc}c_1&b_1\\c_2&b_2\end{array}\right|

Zastępujemy więc w wyznaczniku układu liczby stojące przy niewiadomej x wyrazami wolnymi c.

Wyznacznik ze względu na y jest to:

W_y=\left|\begin{array}{cc}a_1&c_1\\a_2&c_2\end{array}\right|

Zastępujemy więc w wyznaczniku układu liczby stojące przy niewiadomej y wyrazami wolnymi c.

Znając wyznaczniki układu możemy łatwo określić jego rozwiązanie. Możliwe są trzy przypadki:


1) Jeżeli W\neq{0}, to układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie:

x=\frac{W_x}{W},\quad{y}=\frac{W_y}{W}

2) Jeżeli W=W_x=W_y=0, to układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań, równania układu są od siebie zależne.

3) Jeżeli W=0\quad{i}\quad{W_x}\neq{0} lub W=0\quad{i}\quad{W_y}\neq{0}, to układ równań nie ma rozwiązań, jest to układ równań wzajemnie sprzecznych.


Przykład

Rozwiążemy układ równań metodą wyznaczników
\begin{cases}5x+4y-1=0\\-y-3=-x\end{cases}

W pierwszej kolejności należy uporządkować wyrazy. Wyrazy wolne przenosimy na prawą stronę równań, niewiadome w odpowiedniej kolejności na lewą stronę równań.
\begin{cases}5x+4y=1\\x-y=3\end{cases}

Obliczamy wyznacznik układu:
W=\left|\begin{array}{cc}5&4\\1&-1\end{array}\right|=5\cdot(-1)-4\cdot{1}=-5-4=-9
Wyznacznik układu jest różny od zera, więc układ posiada jedno rozwiązanie. Aby je znaleźć musimy obliczyć wyznacznik ze względu na x, zastępując współczynniki przy tej niewiadomej wyrazami wolnymi: W_x=\left|\begin{array}{cc}1&4\\3&-1\end{array}\right|=1\cdot(-1)-4\cdot{3}=-1-12=-13 oraz obliczamy wyznacznik ze względu na y, zastępując w wyznaczniku współczynniki stojące przy y wyrazami wolnymi: W=\left|\begin{array}{cc}5&1\\1&3\end{array}\right|=5\cdot{3}-1\cdot{1}=15-1=14.
Mamy więc rozwiązanie:

x=\frac{W_x}{W}=\frac{-13}{-9}=1\frac{4}{9}\\y=\frac{W_y}{W}=\frac{14}{-9}=-1\frac{5}{9}


Kalkulator - Rozwiązywanie układów równań metodą wyznaczników

Nasz robot spróbuje rozwiązać układ równań liniowych za pomocą wyznaczników.

Układ dwóch równań pierwszego stopnia ma postać:
\begin{cases} a_1x+b_1y=c_1 \\\ a_2x+b_2y=c_2\end{cases}\
Jeżeli twój układ nie ma takiej postaci, w pierwszej kolejności doprowadź go do niej, porzadkując wyrazy przy niewiadomych i wyrazy wolne. Aby rozwiązać układ równań podaj współczynniki a_1, b_1, c_1, a_2, b_2, c_2:

Wpisz dane:

\begin{cases} \LARGE \\\ \LARGE \end{cases} x+ y =
x+ y =



Rozwiązujemy układ równań:


 Objaśnienia:
  • Jeżeli wynik wskaże wartość "infinity" to oznacza, że jest poza zakresem dostępnym dla niniejszego kalkulatora
  • Zapis wyniku 1.2e+12 oznacza liczbę 1.2 pomnożoną przez 1012
  • Gdy jedna z liczb będąca wynikiem działań jest wieksza od jej reprezentacji 64-bitowej, kalkulator stosuje przybliżenia wyniku.
  • Jeżeli podasz liczbę rzeczywistą, do obliczeń zostanie wzięta jedynie jej część całkowita.

Inne kalkulatory:
Rozwiąż równanie kwadratowe w zbiorze liczb rzeczywistych
Wykaz wszystkich kalkulatorów


Metoda wyznaczników sprawdza się wyjątkowo dobrze w przypadku układów nierówności z parametrem. Oto przykład takiego zadania.

Przykład

Sprawdzimy, dla jakiej wartości parametru m, układ równań

\begin{cases}(m-1)x+4y=0\\x-2y=m+2\end{cases}

ma jedno rozwiązanie.

Obliczamy wyznacznik układu:

W=\left|\begin{array}{cc}m-1&4\\1&-2\end{array}\right|=(m-1)\cdot(-2)-4\cdot{1}=-2m+2-4=-2m-2
Aby układ równań miał jedno rozwiązanie, wyznacznik układu musi być różny od zera, więc
-2m-2\neq{0}\\-2m\neq{2}/:(-2)\\m\neq{-1}

Dla m różnego od -1 układ równań ma jedno rozwiązanie.
Znajdźmy to rozwiązanie. Musimy obliczyć wyznacznik ze względu na x, zastępując współczynniki przy tej niewiadomej wyrazami wolnymi:

W_x=\left|\begin{array}{cc}0&4\\m+2&-2\end{array}\right|=0-4(m+2)=-4m-8

oraz obliczamy wyznacznik ze względu na y, zastępując w wyznaczniku współczynniki stojące przy y wyrazami wolnymi:

W=\left|\begin{array}{cc}m-1&0\\1&m+2\end{array}\right|=(m-1)(m+2)-0\cdot{1}=m^2+m-2.
Mamy więc rozwiązanie:

x=\frac{W_x}{W}=\frac{-4m-8}{-2m-2}=\frac{-2(2m+4)}{-2(m+1)}=\frac{2m+4}{m+1}\\y=\frac{W_y}{W}=\frac{m^2+m-2}{-2m-2}


© Media Nauka, 2009-07-12, ART00146/264


spis treści
Zadania
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.



Zadanie 71 - układ równań liniowych z parametrem
Dla jakiej wartości parametru a układ równań
\begin{cases} (a+1)x-3y+a=0 \\ ax+y+a+1=0 \end{cases}
nie ma rozwiązania?

Zadanie 72 - układ równań liniowych z parametrem
Dla jakiej wartości parametrów a, b, c układ równań
\begin{cases} (a+1)x-y=b \\ 2ax+y=c \end{cases}
ma nieskończenie wiele rozwiązań?

Zadanie 73 - układ równań liniowych z parametrem
Dla jakiej wartości parametru a układ równań
\begin{cases} (a-2)x+y=-3a+1 \\ -4x+(a+4)y=a-1 \end{cases}
ma jedno rozwiązanie?

Zadanie 74 - układ równań liniowych - metoda wyznaczników
Rozwiązać układ równań
\begin{cases} \sqrt{2}x-(\sqrt{2}-1)y=3-2\sqrt{2} \\ (2+\sqrt{2})x+\sqrt{2}y=-2 \end{cases}

Zadanie 75 - układ równań liniowych - metoda wyznacznikowa
Rozwiązać układ równań
\begin{cases} \frac{x-y}{2}=x+2 \\ y-x=\frac{x+1}{3} \end{cases}




Poprzedni artykuł  Poprzedni artykuł 
Następny artykuł  Następny artykuł 


Bibliografia
Zgłoś błąd




Menu Matematyka
Zadania
Testy i quizy
Tablice
Narzędzia

Lekcja: Układ równań pierwszego stopnia
» Układ równań pierwszego stopnia - wiadomości podstawowe
» Rozwiązywanie układów równań metodą podstawiania
» Rozwiązywanie układów równań metodą przeciwnych współczynników
Rozwiązywanie układów równań - metoda wyznacznikowa
» Test kontrolny

Pozostało...
64 dni do wakacji 2014
Pozostało...
10 dni do matury 2014

Zamieść link tekstowy do niniejszego artykułu na swojej stronie.