logo
Szukaj w serwisie:
 
 

Rozwiązywanie układu równań

Metoda wyznacznikowa (wyznaczników)

Jedną z metod rozwiązywania układów równań jest metoda wyznaczników. Metoda ta należy do najefektywniejszych metod rozwiązywania układów równań, szczególnie z parametrem. Zanim jednak zostanie omówiona ta metoda należy zapoznać się z pojęciem wyznacznika.

Definicja

Różnicę iloczynów ad-bc nazywamy wyznacznikiem drugiego stopnia i oznaczamy go w następujący sposób: W=\left|\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right|

Liczby w wyznaczniku mnożymy "na krzyż" tak jak to pokazuje poniższa animacja:


Przykład

W=\left|\begin{array}{cc}1&2\\3&4\end{array}\right|=1\cdot{4}-2\cdot{3}=4-6=-2\\{W=\left|\begin{array}{cc}5&-2\\4&3\end{array}\right|=5\cdot{3}-(-2\cdot{4})=15+8=23}\\{W=\left|\begin{array}{cc}0&4\\0&3\end{array}\right|=0\cdot{3}-4\cdot{0}=0-0=0}

Dany jest układ równań:

\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1\\a_2x+b_2y=c_2\end{cases}

Wyznacznik układu jest to:

W=\left|\begin{array}{cc}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{array}\right|

Zapisujemy więc w wyznaczniku kolejno wszystkie liczby przy niewiadomych w odpowiedniej kolejności.

Wyznacznik ze względu na x jest to:

W_x=\left|\begin{array}{cc}c_1&b_1\\c_2&b_2\end{array}\right|

Zastępujemy więc w wyznaczniku układu liczby stojące przy niewiadomej x wyrazami wolnymi c.

Wyznacznik ze względu na y jest to:

W_y=\left|\begin{array}{cc}a_1&c_1\\a_2&c_2\end{array}\right|

Zastępujemy więc w wyznaczniku układu liczby stojące przy niewiadomej y wyrazami wolnymi c.

Znając wyznaczniki układu możemy łatwo określić jego rozwiązanie. Możliwe są trzy przypadki:


1) Jeżeli W\neq{0}, to układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie:

x=\frac{W_x}{W},\quad{y}=\frac{W_y}{W}

2) Jeżeli W=W_x=W_y=0, to układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań, równania układu są od siebie zależne.

3) Jeżeli W=0\quad{i}\quad{W_x}\neq{0} lub W=0\quad{i}\quad{W_y}\neq{0}, to układ równań nie ma rozwiązań, jest to układ równań wzajemnie sprzecznych.


Przykład

Rozwiążemy układ równań metodą wyznaczników
\begin{cases}5x+4y-1=0\\-y-3=-x\end{cases}

W pierwszej kolejności należy uporządkować wyrazy. Wyrazy wolne przenosimy na prawą stronę równań, niewiadome w odpowiedniej kolejności na lewą stronę równań.
\begin{cases}5x+4y=1\\x-y=3\end{cases}

Obliczamy wyznacznik układu:
W=\left|\begin{array}{cc}5&4\\1&-1\end{array}\right|=5\cdot(-1)-4\cdot{1}=-5-4=-9
Wyznacznik układu jest różny od zera, więc układ posiada jedno rozwiązanie. Aby je znaleźć musimy obliczyć wyznacznik ze względu na x, zastępując współczynniki przy tej niewiadomej wyrazami wolnymi: W_x=\left|\begin{array}{cc}1&4\\3&-1\end{array}\right|=1\cdot(-1)-4\cdot{3}=-1-12=-13 oraz obliczamy wyznacznik ze względu na y, zastępując w wyznaczniku współczynniki stojące przy y wyrazami wolnymi: W=\left|\begin{array}{cc}5&1\\1&3\end{array}\right|=5\cdot{3}-1\cdot{1}=15-1=14.
Mamy więc rozwiązanie:

x=\frac{W_x}{W}=\frac{-13}{-9}=1\frac{4}{9}\\y=\frac{W_y}{W}=\frac{14}{-9}=-1\frac{5}{9}


Kalkulator - Rozwiązywanie układów równań metodą wyznaczników

Nasz robot spróbuje rozwiązać układ równań liniowych za pomocą wyznaczników.

Układ dwóch równań pierwszego stopnia ma postać:
\begin{cases} a_1x+b_1y=c_1 \\\ a_2x+b_2y=c_2\end{cases}\
Jeżeli twój układ nie ma takiej postaci, w pierwszej kolejności doprowadź go do niej, porzadkując wyrazy przy niewiadomych i wyrazy wolne. Aby rozwiązać układ równań podaj współczynniki a_1, b_1, c_1, a_2, b_2, c_2:

Wpisz dane:

\begin{cases} \LARGE \\\ \LARGE \end{cases} x+ y =
x+ y =



Rozwiązujemy układ równań:


 Objaśnienia:
  • Jeżeli wynik wskaże wartość "infinity" to oznacza, że jest poza zakresem dostępnym dla niniejszego kalkulatora
  • Zapis wyniku 1.2e+12 oznacza liczbę 1.2 pomnożoną przez 1012
  • Gdy jedna z liczb będąca wynikiem działań jest wieksza od jej reprezentacji 64-bitowej, kalkulator stosuje przybliżenia wyniku.
  • Jeżeli podasz liczbę rzeczywistą, do obliczeń zostanie wzięta jedynie jej część całkowita.

Inne kalkulatory:
Rozwiąż równanie kwadratowe w zbiorze liczb rzeczywistych
Wykaz wszystkich kalkulatorów


Metoda wyznaczników sprawdza się wyjątkowo dobrze w przypadku układów nierówności z parametrem. Oto przykład takiego zadania.

Przykład

Sprawdzimy, dla jakiej wartości parametru m, układ równań

\begin{cases}(m-1)x+4y=0\\x-2y=m+2\end{cases}

ma jedno rozwiązanie.

Obliczamy wyznacznik układu:

W=\left|\begin{array}{cc}m-1&4\\1&-2\end{array}\right|=(m-1)\cdot(-2)-4\cdot{1}=-2m+2-4=-2m-2
Aby układ równań miał jedno rozwiązanie, wyznacznik układu musi być różny od zera, więc
-2m-2\neq{0}\\-2m\neq{2}/:(-2)\\m\neq{-1}

Dla m różnego od -1 układ równań ma jedno rozwiązanie.
Znajdźmy to rozwiązanie. Musimy obliczyć wyznacznik ze względu na x, zastępując współczynniki przy tej niewiadomej wyrazami wolnymi:

W_x=\left|\begin{array}{cc}0&4\\m+2&-2\end{array}\right|=0-4(m+2)=-4m-8

oraz obliczamy wyznacznik ze względu na y, zastępując w wyznaczniku współczynniki stojące przy y wyrazami wolnymi:

W=\left|\begin{array}{cc}m-1&0\\1&m+2\end{array}\right|=(m-1)(m+2)-0\cdot{1}=m^2+m-2.
Mamy więc rozwiązanie:

x=\frac{W_x}{W}=\frac{-4m-8}{-2m-2}=\frac{-2(2m+4)}{-2(m+1)}=\frac{2m+4}{m+1}\\y=\frac{W_y}{W}=\frac{m^2+m-2}{-2m-2}


© Media Nauka, 2009-07-12, ART00146/264


spis treści
Zadania
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.



Zadanie 71 - układ równań liniowych z parametrem
Dla jakiej wartości parametru a układ równań
\begin{cases} (a+1)x-3y+a=0 \\ ax+y+a+1=0 \end{cases}
nie ma rozwiązania?

Zadanie 72 - układ równań liniowych z parametrem
Dla jakiej wartości parametrów a, b, c układ równań
\begin{cases} (a+1)x-y=b \\ 2ax+y=c \end{cases}
ma nieskończenie wiele rozwiązań?

Zadanie 73 - układ równań liniowych z parametrem
Dla jakiej wartości parametru a układ równań
\begin{cases} (a-2)x+y=-3a+1 \\ -4x+(a+4)y=a-1 \end{cases}
ma jedno rozwiązanie?

Zadanie 74 - układ równań liniowych - metoda wyznaczników
Rozwiązać układ równań
\begin{cases} \sqrt{2}x-(\sqrt{2}-1)y=3-2\sqrt{2} \\ (2+\sqrt{2})x+\sqrt{2}y=-2 \end{cases}

Zadanie 75 - układ równań liniowych - metoda wyznacznikowa
Rozwiązać układ równań
\begin{cases} \frac{x-y}{2}=x+2 \\ y-x=\frac{x+1}{3} \end{cases}




Poprzedni artykuł  Poprzedni artykuł 
Następny artykuł  Następny artykuł 


Bibliografia
Zgłoś błąd




Menu Matematyka
Słownik matematyczny

Zadania
Testy i quizy
Tablice
Narzędzia

www.e-pomoce.pl - banner
Lekcja: Układ równań pierwszego stopnia
» Układ równań pierwszego stopnia - wiadomości podstawowe
» Rozwiązywanie układów równań metodą podstawiania
» Rozwiązywanie układów równań metodą przeciwnych współczynników
Rozwiązywanie układów równań - metoda wyznacznikowa
» Test kontrolny

Pozostało...
185 dni do matury 2015
Pozostało...
172 dni do egzaminu gimnazjalnego 2015
Pozostało...
152 dni do sprawdzianu szóstoklasistów 2015

Zamieść link tekstowy do niniejszego artykułu na swojej stronie.