Silnia

Silnia, oznaczana symbolem wykrzyknika, jest zdefiniowana w następujący sposób:

\(0!=1\)

\(1!=1\)

\(n!=1\cdot{2}\cdot{3}\cdot ... \cdot{n}\quad{dla}\quad{n}\geq{2}\)


Przykłady

  • \(2!=1\cdot{2}=2\)
  • \(10!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 10\cdot = 3628800\)
  • \(\frac{1}{5!}=\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3 \cdot 4 \cdot 5}=\frac{1}{120}\)
  • \(\frac{6!}{5!}=\frac{5!\cdot 6}{5!}=6\)
  • \((n+1)!=1\cdot 2\cdot ... \cdot (n-1)\cdot n \cdot (n+1)\)

Silni używamy w kombinatoryce i analizie matematycznej.

Wzory

Wprost z definicji można napisać następujący wzór, przydatny podczas obliczania silni:

\((n+1)!=n!(n+1)\)

A oto przykład zastosowania powyższego wzoru.

Przykłady

\(\frac{11!}{9!}=\frac{9!\cdot 10 \cdot 11}{9!}=\cdot 10 \cdot 11\)

Pytania

Jak obliczyć silnię w Excelu?

Aby obliczyć wartość silni w programie Excel, należy użyć funkcji SILNIA. Na przykład, jeżeli chcemy obliczyć wartość 10!, to w dowolnej komórce arkusza kalkulacyjnego wystarczy wpisać formułę =SILNIA(10) i nacisnąć klawisz ENTER. W Excelu dostępna jest także funkcja SILNIA.DWUKR, która zwraca dwukrotną silnię danej liczby.

Jaki jest algorytm wyznaczania silni?

W JavaScript, czy C++ wystarczy użyć pętli:

liczba = 5;
silnia = 1;
for ($i = 1; $i< = $n; $i++) {silnia = silnia*i;}

Wynik jest przechowywany w zmiennej silnia i jest wyliczony dla wartości 5 (możesz ją zmienić). Powyższy kod można obudować funkcją, należy także dodać sprawdzanie, czy liczba jest liczbą naturalną. W php powyższy kod uzupełnimy o wyświetlenie wyniku:

$liczba=5;
$silnia=1;
for ($i = 1; $i< = $liczba; $i++) {$silnia *= i;}
print $silnia; 

Tablice

Poniższa tablica z powodzeniem zastępuje kalkulator. Poniżej wyniki silni dla pierwszych 50 liczb naturalnych.

0!= 1
1!= 1
2!= 2
3!= 6
4!= 24
5!= 120
6!= 720
7!= 5040
8!= 40320
9!= 362880
10!= 3628800
11!= 39916800
12!= 479001600
13!= 6227020800
14!= 87178291200
15!= 1307674368000
16!= 20922789888000
17!= 355687428096000
18!= 6402373705728000
19!= 121645100408832000
20!= 2432902008176640000
21!= 51090942171709440000
22!= 1124000727777607680000
23!= 25852016738884976640000
24!= 620448401733239439360000
25!= 15511210043330985984000000
26!= 403291461126605635584000000
27!= 10888869450418352160768000000
28!= 304888344611713860501504000000
29!= 8841761993739701954543616000000
30!= 265252859812191058636308480000000
31!= 8222838654177922817725562880000000
32!= 263130836933693530167218012160000000
33!= 8683317618811886495518194401280000000
34!= 295232799039604140847618609643520000000
35!= 10333147966386144929666651337523200000000
36! = 371993326789901217467999448150835200000000
37!= 13763753091226345046315979581580902400000000
38!= 523022617466601111760007224100074291200000000
39!= 20397882081197443358640281739902897356800000000
40!= 815915283247897734345611269596115894272000000000
41!= 33452526613163807108170062053440751665152000000000
42!= 1405006117752879898543142606244511569936384000000000
43!= 60415263063373835637355132068513997507264512000000000
44!= 2658271574788448768043625811014615890319638528000000000
45!= 119622220865480194561963161495657715064383733760000000000
46!= 5502622159812088949850305428800254892961651752960000000000
47!= 258623241511168180642964355153611979969197632389120000000000
48!= 12413915592536072670862289047373375038521486354677760000000000
49!= 608281864034267560872252163321295376887552831379210240000000000
50!= 30414093201713378043612608166064768844377641568960512000000000000

Ćwiczenia

Ćwiczenia interakcyjne pomogą przygotować się na sprawdzian, test, egzamin, a ponadto usystematyzują wiedzę z danej dziedziny. To także świetny trening do matury. Wiele ćwiczeń to dobre zadania maturalne.



Zadania z rozwiązaniami

zadanie maturalne

Zadanie nr 1.

Obliczyć:

1) \(\frac{103!}{100!}\)

2) \(\frac{(n+1)!}{(n-1)!}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.





Inne zagadnienia z tej lekcji


© medianauka.pl, 2009-08-21, A-297
Data aktualizacji artykułu: 2023-03-28



©® Media Nauka 2008-2023 r.