Symbol Pi

Jeżeli mnożymy przez siebie wiele czynników i zauważamy pewną regułę, możemy do oznaczenia sumy stosować znak „Π” (pi).

Zapis iloczynu za pomocą symbolu PI

Oto przykład zastosowania symboli pi do oznaczania iloczynu wielu czynników.

Przykłady

Zamiast pisać 1∙2∙3∙4∙5∙6∙7∙8∙9, możemy napisać:

pi

Przeanalizujmy ten zapis:

Wprowadza się tutaj tak zwany indeks (wskaźnik) oznaczony literą „i”, który zmienia się w odstępie co 1 dla każdego kolejnego czynnika iloczynu od wartości zapisanej pod znakiem „pi”, do wartości zapisanej nad znakiem „pi”. W naszym przypadku mnożymy liczby różniące się o 1, począwszy od jedynki aż do 9, dlatego można było zastosować właśnie taką skróconą notację.

Próbując rozumować w drugą stronę (rozwinąć skrócony zapis), przyjmujemy początkową wartość indeksu (zapisaną pod znakiem „pi”) i wstawiamy tę wartość do wzoru przy znaku „pi”. Otrzymujemy pierwszy czynnik iloczynu. Następnie zwiększamy wartość wskaźnika „i” o jeden i znów podstawiamy do wzoru przy znaku „Π”. Podstawiamy wskaźnik tak długo, aż przyjmie wartość zapisaną nad symbolem „Π” (wówczas tę wartość ostatni raz podstawiamy do wzoru).

Powyższy zapis czytamy następująco: iloczyn czynników postaci „i” rozciągnięty na wszystkie wskaźniki od 1 do 9 (lub krócej: iloczyn po „i” od i = 1 do 9).

Zapis ten wprawdzie nie jest tak często stosowany tak, jak symbol sigma (tutaj też znajdziesz wiele przykładów stosowania skróconej notacji, która jest analogiczna dla iloczynu), jednak warto go zapamiętać.

Zadanie

Oblicz

pi - przykład.

Rozwiązanie:

symbol pi jako iloczyn - przykład

Zadania z rozwiązaniami

zadanie maturalne

Zadanie nr 1.

Oblicz:
a) \(\displaystyle\prod_{i=-2}^{2} (\frac{i}{i+4})\)
b) \(\displaystyle\prod_{i=1}^{5} (i+1)\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 2.

Oblicz: \(\frac{\displaystyle\prod_{i=3}^{6}2i}{\displaystyle\prod_{i=1}^{4}2^i}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 3.

Oblicz:

\(\frac{1}{2^{10}}\cdot \displaystyle\prod_{i=1}^{3}\prod_{j=1}^{5}(i+j)\)>

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 4.

Oblicz:

\(\displaystyle\sum_{j=1}^{3}\prod_{i=1}^{5}ij\)

Pokaż rozwiązanie zadania.





Inne zagadnienia z tej lekcji


© medianauka.pl, 2009-01-07, A-131
Data aktualizacji artykułu: 2023-03-08



©® Media Nauka 2008-2023 r.