Symetria środkowa

Co to jest symetria środkowa? Oto definicja tego przekształcenia.

Symetria środkowa względem punktu \(O\), nazywanego środkiem symetrii, jest to przekształcenie płaszczyzny polegające na tym, że punkt \(O\) jest punktem niezmienniczym tego przekształcenia, a obrazem dowolnego innego punktu \(A\) jest punkt \(A'\) taki, że punkt \(O\) jest środkiem odcinka \(\overline{AA'}\).

Poniższa animacja ilustruje symetrię środkową na przykładzie szukania obrazu punktu \(A\) w tym przekształceniu.

Animacja

Symetria środkowa

Symetrię osiową względem punktu \(O\) oznaczamy następująco: \(S_O\), natomiast zapis \(S_O(A)=A'\) czytamy w następujący sposób: „obrazem punktu \(A\) w symetrii środkowej jest punkt \(A'\)”.

Poniższa ilustracja pokazuje symetrię środkową pewnej figury ABCDE.

symetria środkowa

Twierdzenie 1

Symetria środkowa względem punktu \(O\) jest złożeniem dwóch symetrii osiowych względem prostych prostopadłych przecinających się w punkcie \(O\).

Ilustruje to poniższy rysunek:

symetria środkowa jako złożenie dwóch symetrii osiowych

Twierdzenie 2

Symetria środkowa względem punktu \(O\) jest obrotem o kąt półpełny dookoła punktu \(O\).

Ilustruje to poniższy rysunek:

symetria środkowa jako obrót o kąt półpelny

Środek symetrii figury

co to jest środek symetrii figury? Oto definicja,

Jeżeli istnieje taki punkt \(O\), że obrazem figury \(f\) w symetrii środkowej względem tego punktu jest ta sama figura, to punkt ten nazywamy środkiem symetrii figury \(f\), a figurę nazywamy środkowosymetryczną.

środek symetrii figury

Przykłady

Do figur środkowosymetrycznych należą:

Okrąg — środkiem symetrii jest środek okręgu.
Koło — środkiem symetrii jest środek koła.
Prosta — środkiem symetrii jest dowolny punkt prostej.
Kwadrat — środkiem symetrii jest punkt przecięcia się przekątnych kwadratu.

A oto inne przykłady figur środkowosymetrycznych:

figury środkowosymetryczne

Symetria środkowa względem początku układu współrzędnych — wzory

A oto ujęcie analityczne symetrii środkowej.

W symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych obrazem pewnego punktu \(P=(x,y)\) jest punkt \(P'=(x',y')\). Zachodzą zależności między współrzędnymi punktu i jego obrazem:

\(x'=-x\)

\(y'=-y\)

Przykład

Znajdziemy równanie krzywej \(y=x^2+1\) w symetrii względem początku układu współrzędnych.

Korzystając z powyższych zależności między współrzędnymi punktu i jego obrazu w symetrii środkowej otrzymujemy:

\(y=x^2+1\)

\(-y'=(-x')^2+1/\cdot(-1)\)

\(y'=-x'^2-1\)

Pytania

Gdzie leży środek symetrii kwadratu?

Środkiem symetrii w kwadracie leży na punkcie przecięcia się jego przekątnych.

Ćwiczenia

Ćwiczenia interakcyjne pomogą przygotować się na sprawdzian, test, egzamin, a ponadto usystematyzują wiedzę z danej dziedziny. To także świetny trening do matury. Wiele ćwiczeń to dobre zadania maturalne.

ĆWICZENIA

Symetria środkowa

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1.

Znaleźć obraz trójkąta równobocznego w symetrii środkowej względem dowolnego wierzchołka tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Znaleźć obraz kwadratu w przekształceniu będącym złożeniem czterech symetrii środkowych względem kolejnych wierzchołków tego kwadratu.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Znaleźć obraz trójkąta \(BC\) w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych, jeżeli \(A=(-2,3), B=(5,3), C=(0,7)\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Znaleźć obraz krzywej \(y=x^3-x^2\) w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5 — maturalne.

Dane są punkty \(M = (-2,1), N = (-1,3)\). Punkt \(K \)jest środkiem odcinka \(MN\). Obrazem punktu \(K\) w symetrii względem początku układu współrzędnych jest punkt:

A. \(K'=(2,-\frac{3}{2})\)

B. \(K'=(2,\frac{3}{2})\)

C. \(K'=(\frac{3}{2},2)\)

D. \(K'=(\frac{3}{2},-2)\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6 — maturalne.

Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji liniowej f. Na wykresie tej funkcji leżą punkty \(A=(0,4)\) i \(B=(2,2)\).

Wykres