logo
Szukaj w serwisie:
 
 

Własności ciągów
i obliczanie granic ciągów

Przy obliczaniu granic ciągów korzysta się z wielu właściwości, które zostaną niżej opisane, ale i w oparciu o wiedzę na temat zbieżności elementarnych ciągów. Poniższa tablica zawiera kilka takich ciągów

CiągGranicaPrzykład
a_n=\frac{1}{n}\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}=0\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}=0
a_n=\frac{k}{n}, \quad k\in R\lim_{n\to\infty} \frac{k}{n}=0\lim_{n\to\infty} \frac{-7}{n}=0
Ciąg geometryczny:
a_n=a_1\cdot q^{n-1}, \quad q< 0
\lim_{n\to\infty} a_1\cdot q^{n-1}=0Dla a1 = 4 i q = 1/2 otrzymujemy ciąg
(4,2,1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},...), który jest zbieżny do zera
a_n=n^k, \quad k\in N_+\lim_{n\to\infty} n^k=\infty\lim_{n\to\infty} n^4=\infty
a_n=k^n, \quad k\in N_+\lim_{n\to\infty} k^n=\infty\lim_{n\to\infty} 4^n=\infty
Ciąg stały:
a_n=k, \quad k\in R
\lim_{n\to\infty} k=k\lim_{n\to\infty} 2=2

Twierdzenie

Twierdzenie o działaniach arytmetycznych na granicach ciągów.
Niech \lim_{n\to\infty} a_n=a oraz \lim_{n\to\infty} b_n=b
Prawdziwe są następujące równości:

\lim_{n\to\infty} (a_n+b_n)=a+b \\ \lim_{n\to\infty} (a_n-b_n)=a-b \\ \lim_{n\to\infty} (a_n\cdot b_n)=a\cdot b \\ \lim_{n\to\infty} \fra{a_n}{b_n}=\frac{a}{b},b_n\neq 0,b\neq 0

Przykład

\lim_{n\to\infty} (\frac{5}{n}-2)=\lim_{n\to\infty} 5\cdot \frac{1}{n}-\lim_{n\to\infty}2=5\cdot 0 - 2=-2
\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^3}=\lim_{n\to\infty} (\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{n}\cdot \frac{1}{n})=0\cdot 0\cdot 0=0

Poniższy przykład jest dość często występującą granicą w zadaniach. W takim przypadku dzielimy każdy wyraz licznika i mianownika przez największą potęgę zmiennej n występującej w mianowniku.

Przykład

\lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{n^2-5n+1}=\lim_{n\to\infty} \frac{\frac{n}{n^2}+\frac{1}{n^2}}{\frac{n^2}{n^2}-\frac{5n}{n^2}+\frac{1}{n^2}}=\lim_{n\to\infty} \frac{\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}{1-\frac{5}{n}+\frac{1}{n^2}}= \\ =\frac{\lim_{n\to\infty} (\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2})}{\lim_{n\to\infty} (1-\frac{5}{n}+\frac{1}{n^2})}=\frac{\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}+\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2}}{\lim_{n\to\infty}1-\lim_{n\to\infty}\frac{5}{n}+\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2}}=\frac{0+0}{1-0+0}=0

Przykład

\lim_{n\to\infty} \frac{3n^2+1}{n^2-n+4}=\lim_{n\to\infty} \frac{\frac{3n^2}{n^2}+\frac{1}{n^2}}{\frac{n^2}{n^2}-\frac{n}{n^2}+\frac{4}{n^2}}=\lim_{n\to\infty} \frac{3+\frac{1}{n^2}}{1-\frac{1}{n}+\frac{4}{n^2}}=\\=\frac{\lim_{n\to\infty} (3+\frac{1}{n^2})}{\lim_{n\to\infty} (1-\frac{1}{n}+\frac{4}{n^2})}=\frac{3+0}{1-0+0}=3

Jeżeli choć jeden z ciągów z powyższego twierdzenia jest rozbieżny do nieskończoności, to bez dodatkowej analizy nie można nic jednoznacznie stwierdzić o zbieżności ciągu na podstawie twierdzenia o zbieżności sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu ciągów.


Twierdzenie

Prawdziwa jest następująca implikacja:
\lim_{n\to\infty}|a_n|=\infty \Rightarrow \lim_{n\to\infty}\frac{1}{a_n}=0

Przykład

\lim_{n\to\infty}|2^n|=\lim_{n\to\infty}2^n=\infty \Rightarrow \lim_{n\to\infty}\frac{1}{2^n}=0
\lim_{n\to\infty}|n^4|=\lim_{n\to\infty}n^4=\infty \Rightarrow \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^4}=0

Twierdzenie

Prawdziwa jest następująca implikacja:
\[(a_n>0)\wedge (\lim_{n\to\infty}a_n=0)] \Rightarrow \lim_{n\to\infty}\frac{1}{a_n}=\infty

Przykład

\frac{1}{3n+(-1)^n}>0\quad i \quad \lim_{n\to\infty}\frac{1}{3n+(-1)^n}=0 \\ \Rightarrow \lim_{n\to\infty}[3n+(-1)^n]=+\infty


Twierdzenie o trzech ciągach

Jeżeli dane są ciągi (an), (bn), (cn), oraz

to ciąg bn jest zbieżny i \lim_{n\to\infty}b_n=g

Powyższe twierdzenie przeanalizujmy na przykładzie.

Przykład

Wiedząc, że \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{c}=1, gdzie c jest dowolną liczbą naturalną obliczymy granicę

\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{5^n+10^n}

Możemy zapisać, że:
\sqrt[n]{10^n}\leq{\sqrt[n]{5^n+10^n}}\leq{\sqrt[n]{10^n+10^n}}\\10\leq{\sqrt[n]{5^n+10^n}}\leq{10}\sqrt[n]{2}

Mamy więc spełniony warunek a_n\leq{b_n}\leq{c_n}
Pierwszy warunek o równości granic również jest spełniony, gdyż \lim_{n\to\infty}10=\lim_{n\to\infty}10\sqrt[n]{2}=10
Zatem na podstawie powyższego twierdzenia \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{5^n+10^n}=10

© Media Nauka, 2009-09-05, ART00193/313


spis treści
Zadania
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.



Zadanie 88 - obliczanie granic ciągów
Obliczyć granicę \lim_{n\to\infty}(\frac{-n^2-4n+1}{n^2+2}-5)

Zadanie 89 - obliczanie granicy ciągu
Obliczyć granicę \lim_{n\to\infty}(\frac{n^3+n^2+2n+3}{n+1}-n^2)

Zadanie 95 - obliczanie granicy ciągu
Obliczyć granicę \lim_{n\to\infty}\frac{1+2+3+...+n}{n^2+n-1}




Poprzedni artykuł  Poprzedni artykuł 
Następny artykuł  Następny artykuł 


Bibliografia
Zgłoś błąd




Menu Matematyka
Słownik matematyczny

Zadania
Testy i quizy
Tablice
Narzędzia

www.e-pomoce.pl - banner
Lekcja: Granica ciagu
» Otoczenie punktu
» Definicja granicy ciągu
» Granica niewłaściwa ciągu
» Obliczanie granicy ciągu na podstawie definicji
Właściwości i obliczanie granic ciągów
» Test kontrolny

Pozostało...
192 dni do matury 2015
Pozostało...
179 dni do egzaminu gimnazjalnego 2015
Pozostało...
159 dni do sprawdzianu szóstoklasistów 2015

Zamieść link tekstowy do niniejszego artykułu na swojej stronie.