logo
Szukaj w serwisie:
 
 

Własności ciągów
i obliczanie granic ciągów

Przy obliczaniu granic ciągów korzysta się z wielu właściwości, które zostaną niżej opisane, ale i w oparciu o wiedzę na temat zbieżności elementarnych ciągów. Poniższa tablica zawiera kilka takich ciągów

CiągGranicaPrzykład
a_n=\frac{1}{n}\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}=0\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}=0
a_n=\frac{k}{n}, \quad k\in R\lim_{n\to\infty} \frac{k}{n}=0\lim_{n\to\infty} \frac{-7}{n}=0
Ciąg geometryczny:
a_n=a_1\cdot q^{n-1}, \quad q< 0
\lim_{n\to\infty} a_1\cdot q^{n-1}=0Dla a1 = 4 i q = 1/2 otrzymujemy ciąg
(4,2,1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},...), który jest zbieżny do zera
a_n=n^k, \quad k\in N_+\lim_{n\to\infty} n^k=\infty\lim_{n\to\infty} n^4=\infty
a_n=k^n, \quad k\in N_+\lim_{n\to\infty} k^n=\infty\lim_{n\to\infty} 4^n=\infty
Ciąg stały:
a_n=k, \quad k\in R
\lim_{n\to\infty} k=k\lim_{n\to\infty} 2=2

Twierdzenie

Twierdzenie o działaniach arytmetycznych na granicach ciągów.
Niech \lim_{n\to\infty} a_n=a oraz \lim_{n\to\infty} b_n=b
Prawdziwe są następujące równości:

\lim_{n\to\infty} (a_n+b_n)=a+b \\ \lim_{n\to\infty} (a_n-b_n)=a-b \\ \lim_{n\to\infty} (a_n\cdot b_n)=a\cdot b \\ \lim_{n\to\infty} \fra{a_n}{b_n}=\frac{a}{b},b_n\neq 0,b\neq 0

Przykład

\lim_{n\to\infty} (\frac{5}{n}-2)=\lim_{n\to\infty} 5\cdot \frac{1}{n}-\lim_{n\to\infty}2=5\cdot 0 - 2=-2
\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^3}=\lim_{n\to\infty} (\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{n}\cdot \frac{1}{n})=0\cdot 0\cdot 0=0

Poniższy przykład jest dość często występującą granicą w zadaniach. W takim przypadku dzielimy każdy wyraz licznika i mianownika przez największą potęgę zmiennej n występującej w mianowniku.

Przykład

\lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{n^2-5n+1}=\lim_{n\to\infty} \frac{\frac{n}{n^2}+\frac{1}{n^2}}{\frac{n^2}{n^2}-\frac{5n}{n^2}+\frac{1}{n^2}}=\lim_{n\to\infty} \frac{\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}{1-\frac{5}{n}+\frac{1}{n^2}}= \\ =\frac{\lim_{n\to\infty} (\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2})}{\lim_{n\to\infty} (1-\frac{5}{n}+\frac{1}{n^2})}=\frac{\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}+\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2}}{\lim_{n\to\infty}1-\lim_{n\to\infty}\frac{5}{n}+\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2}}=\frac{0+0}{1-0+0}=0

Przykład

\lim_{n\to\infty} \frac{3n^2+1}{n^2-n+4}=\lim_{n\to\infty} \frac{\frac{3n^2}{n^2}+\frac{1}{n^2}}{\frac{n^2}{n^2}-\frac{n}{n^2}+\frac{4}{n^2}}=\lim_{n\to\infty} \frac{3+\frac{1}{n^2}}{1-\frac{1}{n}+\frac{4}{n^2}}=\\=\frac{\lim_{n\to\infty} (3+\frac{1}{n^2})}{\lim_{n\to\infty} (1-\frac{1}{n}+\frac{4}{n^2})}=\frac{3+0}{1-0+0}=3

Jeżeli choć jeden z ciągów z powyższego twierdzenia jest rozbieżny do nieskończoności, to bez dodatkowej analizy nie można nic jednoznacznie stwierdzić o zbieżności ciągu na podstawie twierdzenia o zbieżności sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu ciągów.


Twierdzenie

Prawdziwa jest następująca implikacja:
\lim_{n\to\infty}|a_n|=\infty \Rightarrow \lim_{n\to\infty}\frac{1}{a_n}=0

Przykład

\lim_{n\to\infty}|2^n|=\lim_{n\to\infty}2^n=\infty \Rightarrow \lim_{n\to\infty}\frac{1}{2^n}=0
\lim_{n\to\infty}|n^4|=\lim_{n\to\infty}n^4=\infty \Rightarrow \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^4}=0

Twierdzenie

Prawdziwa jest następująca implikacja:
\[(a_n>0)\wedge (\lim_{n\to\infty}a_n=0)] \Rightarrow \lim_{n\to\infty}\frac{1}{a_n}=\infty

Przykład

\frac{1}{3n+(-1)^n}>0\quad i \quad \lim_{n\to\infty}\frac{1}{3n+(-1)^n}=0 \\ \Rightarrow \lim_{n\to\infty}[3n+(-1)^n]=+\infty


Twierdzenie o trzech ciągach

Jeżeli dane są ciągi (an), (bn), (cn), oraz

to ciąg bn jest zbieżny i \lim_{n\to\infty}b_n=g

Powyższe twierdzenie przeanalizujmy na przykładzie.

Przykład

Wiedząc, że \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{c}=1, gdzie c jest dowolną liczbą naturalną obliczymy granicę

\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{5^n+10^n}

Możemy zapisać, że:
\sqrt[n]{10^n}\leq{\sqrt[n]{5^n+10^n}}\leq{\sqrt[n]{10^n+10^n}}\\10\leq{\sqrt[n]{5^n+10^n}}\leq{10}\sqrt[n]{2}

Mamy więc spełniony warunek a_n\leq{b_n}\leq{c_n}
Pierwszy warunek o równości granic również jest spełniony, gdyż \lim_{n\to\infty}10=\lim_{n\to\infty}10\sqrt[n]{2}=10
Zatem na podstawie powyższego twierdzenia \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{5^n+10^n}=10

© Media Nauka, 2009-09-05, ART00193/313


spis treści
Zadania
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.



Zadanie 88 - obliczanie granic ciągów
Obliczyć granicę \lim_{n\to\infty}(\frac{-n^2-4n+1}{n^2+2}-5)

Zadanie 89 - obliczanie granicy ciągu
Obliczyć granicę \lim_{n\to\infty}(\frac{n^3+n^2+2n+3}{n+1}-n^2)

Zadanie 95 - obliczanie granicy ciągu
Obliczyć granicę \lim_{n\to\infty}\frac{1+2+3+...+n}{n^2+n-1}




Poprzedni artykuł  Poprzedni artykuł 
Następny artykuł  Następny artykuł 


Bibliografia
Zgłoś błąd




Menu Matematyka
Słownik matematyczny

Zadania
Testy i quizy
Tablice
Narzędzia

www.e-pomoce.pl - banner
Lekcja: Granica ciagu
» Otoczenie punktu
» Definicja granicy ciągu
» Granica niewłaściwa ciągu
» Obliczanie granicy ciągu na podstawie definicji
Właściwości i obliczanie granic ciągów
» Test kontrolny


Zamieść link tekstowy do niniejszego artykułu na swojej stronie.