logo
Szukaj w serwisie:
 
 

Własności logarytmów

Z definicji logarytmu, a także z własności działań na potęgach dla a\in R_{+}\backslash \{1\} oraz b,c\in R_{+} prawdziwe są wszystkie poniższe zależności:


\log_{a}1=0

Przykład

\log_{5}1=0\\ \log_{\frac{4}{7}}1=0\\ \log_{\sqrt{7}}1=0

\log_{a}a=1

Przykład

\log_{5}5=1\\ \log_{\frac{4}{7}}\frac{4}{7}=1\\ \log_{\sqrt{7}}\sqrt{7}=1

Logarytm iloczynu

\log_{a}(b\cdot c)=\log_{a}b+\log_{a}c

Przykład

\log_{2}(8\sqrt{2})=\log_{2}8+\log_{2}\sqrt{2}=3+\frac{1}{2}=3\frac{1}{2}\\ \log_{2}24=\log_{2}(8\cdot 3)=\log_{2}8+\log_{2}3=3+\log_{2}3\\ \log_{\sqrt{7}}(49\sqrt{7})=\log_{\sqrt{7}}49+\log_{\sqrt{7}}\sqrt{7}=4+1=5

Logarytm ilorazu

\log_{a}\frac{b}{c}=\log_{a}b-\log_{a}c

Przykład

\log_{2}\frac{\sqrt{2}}{4}=\log_{2}\sqrt{2}-\log_{2}4=\frac{1}{2}-2=-1\frac{1}{2}\\ \log_{\frac{1}{2}}\frac{4}{7}=\log_{\frac{1}{2}}4-\log_{\frac{1}{2}}7=-2-\log_{\frac{1}{2}}7

Logarytm potęgi

Dla n\in R:

\log_{a}b^n=n\cdot \log_{a}b

Przykład

\log_{2}2^8=8\cdot \log_{2}2=8\cdot 1=8\\ \log_{2}\sqrt[5]{4}=\log_{2}4^{\frac{1}{5}}=\frac{1}{5}\log_{2}4=\frac{1}{5}\cdot 2=\frac{2}{5}\\ \log_{3}9^{\log_{2}\sqrt{2}}=\log_{2}\sqrt{2}\cdot \log_{3}9=\frac{1}{2}\cdot 2=1

Wzór na zmianę podstawy logarytmu

Dla c\neq 1:

\log_{a}b=\frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}

Przykład

\log_{\frac{1}{2}}32=\frac{\log_{2}32}{\log_{2}\frac{1}{2}}=\frac{5}{-1}=-5\\ \log_{\sqrt{2}}32=\frac{\log_{2}32}{\log_{2}\sqrt{2}}=\frac{5}{\frac{1}{2}}=10

a^{\log_{a}b}=b

Przykład

3^{\log_{3}7}=7\\ \sqrt{5}^{\log_{\sqrt{5}}\frac{5}{9}}=\frac{5}{9}

\log_{a}b=\frac{1}{\log_{b}a

Przykład

\log_{3}7=\frac{1}{log_{7}3}\\ \log_{2}\frac{4}{3}=\frac{1}{log_{\frac{4}{3}}2}

© Media Nauka, 2009-04-05, ART00086/180


spis treści
Zadania
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.



Zadanie 25 - własności logarytmów - oblicz wartość wyrażenia

Oblicz wartość wyrażenia W=5\log{a}-2\log{\frac{a^3}{b^2}}+\log{ab^6} dla a=\frac{7}{11} \ i \ b=\frac{1}{10}



Zadanie 26 - własności logarytmów, oblicz wartość wyrażenia

Oblicz wartość wyrażenia 4^{1-\log_{2}{3}}



Zadanie 27 - własności logarytmów - Oblicz wartość wyrażenia
Oblicz: \frac{5^{-\log_{5}{\frac{1}{8}}}}{2\log_{5}{10}-\log_{5}{4}}

Zadanie 28 - własności logarytmów
Oblicz wartość wyrażenia: W=\log_{\frac{1}{3}}{x}+\log_{9}{x^2}+\log_{\sqrt{3}}{\sqrt{x}}-log_{3}{x} dla x>0

Zadanie 29 - własności logarytmów - obliczanie logarytmów
Oblicz wartość wyrażenia: \log_{4}{a}+4\log_{a}{2} wiedząc, że \log_{16}{a}=3 i a>1.

Zadanie 325 - własności logarytmów
Oblicz:
a) \log_{5}{25\sqrt[3]{5}}
b) \log_{2}{\frac{\sqrt{2}}{4}}
c) \log_{2}{16^{\log_{3}{\sqrt{3}}}}

Zadanie 24 - równanie wykładnicze - Zadania: Rozwiązać równanie: 2^x=3 i 2^x=3
Rozwiązać równanie:
a) 2^x=3
b) 2^x=3




Poprzedni artykuł  Poprzedni artykuł 
Następny artykuł  Następny artykuł 


Bibliografia
Zgłoś błąd




Menu Matematyka
Słownik matematyczny

Zadania
Testy i quizy
Tablice
Narzędzia

www.e-pomoce.pl - banner
Lekcja: Logarytmy - definicja i własności
» Logarytm
Własności logarytmów
» Logarytm dziesiętny
» Logarytm naturalny
» Test kontrolny

Pozostało...
215 dni do matury 2015
Pozostało...
202 dni do egzaminu gimnazjalnego 2015
Pozostało...
182 dni do sprawdzianu szóstoklasistów 2015

Zamieść link tekstowy do niniejszego artykułu na swojej stronie.