Własności logarytmów

Bez poniższych własności logarytmów, logarytmowanie byłoby bardzo trudne. Przedstawione wzory wykorzystujemy często w analizie matematycznej

Z definicji logarytmu, a także z własności działań na potęgach dla \(a\in \mathbb{R}_{+}\backslash \{1\}\) oraz \(b,c\in \mathbb{R}_{+}\) prawdziwe są wszystkie poniższe zależności:

Dowolny logarytm z 1 jest równy zeru.

\(\log_{a}1=0\)

Przykłady

  • \(\log_{5}1=0\)
  • \( \log_{\frac{4}{7}}1=0\)
  • \(\log_{\sqrt{7}}1=0\)

\(\log_{a}a=1\)

  • \(\log_{5}5=1\)
  • \(\log_{\frac{4}{7}}\frac{4}{7}=1\)
  • \(\log_{\sqrt{7}}\sqrt{7}=1\)

Działania na logarytmach

Działania na logarytmach są określone następującymi wzorami.

Dodawanie logarytmów

Wzór na logarytm iloczynu określa, w jaki sposób realizujemy dodawanie logarytmów o tych samych podstawach. Suma logarytmów o jednakowych podstawach jest równa logarytmowi iloczynu liczb logarytmowanych.

\(\log_{a}(b\cdot c)=\log_{a}b+\log_{a}c\)

Przykłady

  • \(\log_{2}(8\sqrt{2})=\log_{2}8+\log_{2}\sqrt{2}=3+\frac{1}{2}=3\frac{1}{2}\)
  • \(\log_{2}24=\log_{2}(8\cdot 3)=\log_{2}8+\log_{2}3=3+\log_{2}3\)
  • \(\log_{\sqrt{7}}(49\sqrt{7})=\log_{\sqrt{7}}49+\log_{\sqrt{7}}\sqrt{7}=4+1=5\)

Odejmowanie logarytmów

Wzór na logarytm ilorazu określa, w jaki sposób realizujemy odejmowanie logarytmów o tych samych podstawach. Różnica logarytmów o jednakowych podstawach jest równa logarytmowi ilorazu liczb logarytmowanych.

\(\log_{a}\frac{b}{c}=\log_{a}b-\log_{a}c\)

Przykłady

  • \(\log_{2}\frac{\sqrt{2}}{4}=\log_{2}\sqrt{2}-\log_{2}4=\frac{1}{2}-2=-1\frac{1}{2}\)
  • \( \log_{\frac{1}{2}}\frac{4}{7}=\log_{\frac{1}{2}}4-\log_{\frac{1}{2}}7=-2-\log_{\frac{1}{2}}7\)

Logarytm potęgi

Dla \(n\in \mathbb{R}\):

\(\log_{a}b^n=n\cdot \log_{a}b\)

Przykłady

  • \(\log_{2}2^8=8\cdot \log_{2}2=8\cdot 1=8\)
  • \(\log_{2}\sqrt[5]{4}=\log_{2}4^{\frac{1}{5}}=\frac{1}{5}\log_{2}4=\frac{1}{5}\cdot 2=\frac{2}{5}\)
  • \(\log_{3}9^{\log_{2}\sqrt{2}}=\log_{2}\sqrt{2}\cdot \log_{3}9=\frac{1}{2}\cdot 2=1\)

Zmiana podstawy logarytmu

Wzór na zmianę podstawy logarytmu jest bardzo przydatny.

Dla \(c\neq 1\):

\(\log_{a}b=\frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}\)

Przykłady

  • \(\log_{\frac{1}{2}}32=\frac{\log_{2}32}{\log_{2}\frac{1}{2}}=\frac{5}{-1}=-5\)
  • \(\log_{\sqrt{2}}32=\frac{\log_{2}32}{\log_{2}\sqrt{2}}=\frac{5}{\frac{1}{2}}=10\)

Jeżeli na przykład na naszym kalkulatorze nie ma funkcji logarytmowania przy dowolnej podstawie (na ogół tak jest), a jest dostępna funkcja \(ln\) (logarytm naturalny), to wzór ten umożliwia nam wykonanie obliczeń na kalkulatorze. Dla przykładu \(\log_{2}7=\frac{\ln{7}}{\ln{2}}\).

Inne wzory

Kolejne wzory:

\(a^{\log_{a}b}=b\)

Przykłady

  • \(3^{\log_{3}7}=7\)
  • \(\sqrt{5}^{\log_{\sqrt{5}}\frac{5}{9}}=\frac{5}{9}\)

\( \log_{a}b=\frac{1}{\log_{b}a} \)

Przykłady

  • \(\log_{3}7=\frac{1}{log_{7}3}\)
  • \(\log_{2}\frac{4}{3}=\frac{1}{log_{\frac{4}{3}}2}\)


Zadania z rozwiązaniami

zadanie maturalne

Zadanie nr 1 — maturalne.

Suma \(\log_8{16}+1 jest równa

A. \(3\)

B. \(\frac{3}{2}\)

C. \(\log_8{17}\)

D. \(\frac{7}{3}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 2 — maturalne.

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=81^{\log_3{x}}+\frac{2\cdot\log_2 {\sqrt{7}}\cdot \log_3{2}}{3}\cdot x^2-6x\) dla każdej liczby dodatniej \(x\).

1. Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej \(x\) wyrażenie \(81^{\log_3{x}}+\frac{2\cdot\log_2 {\sqrt{7}}\cdot \log_3{2}}{3}\cdot x^2-6x\) można równoważnie przekształcić do postaci \(x^4+x^2-6x\).

2. Oblicz najmniejszą wartość funkcji \(f\) określonej dla każdej liczby dodatniej \(x\). Zapisz obliczenia. Wskazówka: przyjmij, że wzór funkcji \(f\) można przedstawić w postaci \(f(x)=x^4+x^2-6x\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 3 — maturalne.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(\log_9{27}+\log_9{3}\) jest równa

A. 81

B. 9

C. 4

D. 2

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 4 — maturalne.

Liczba \(\log_{3}{\sqrt{27}}−\log_{27}{\sqrt{3}}\) jest równa

A. \(\frac{4}{3}\)

B. \(\frac{1}{2}\)

C. \(\frac{11}{12}\)

D. 3

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 5 — maturalne.

Liczba \(\log_{4}{2}+2\log_{4}{8}\) jest równa

A. \(6\log_{4}{10}\)

B. \(16\)

C. \(5\)

D. \(6\log_{4}{16}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 6 — maturalne.

Suma \(2\log{\sqrt{10}}+\log{10^3}\) jest równa

A. \(2\)

B. \(3\)

C. \(4\)

D. \(5\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 7 — maturalne.

Liczba \(\log_{5}{\sqrt{125}}\) jest równa:

A. \(\frac{2}{3}\)

B. \(2\)

C. \(3\)

D. \(\frac{3}{2}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 8 — maturalne.

Liczba \(2\log_3{6}-\log_3{4}\) jest równa:

  1. \(4\)
  2. \(2\)
  3. \(2\log_3{2}\)
  4. \(\log_3{8}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 9 — maturalne.

Liczba \(2\log_2{3}-2\log_2{5}\) jest równa:

A. \(\log_2 \frac{9}{25}\)

B. \(\log_2 \frac{3}{5}\)

C. \(\log_2 \frac{9}{5}\)

D. \(\log_2 \frac{6}{25}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 10 — maturalne.

Liczba \(\log_{\sqrt{2}}{(2\sqrt{2})}\) jest równa:

A. \(\frac{3}{2}\)

B. \(2\)

C. \(\frac{5}{2}\)

D. \(3\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 11.

Oblicz:

a) \(\log_{5}{25\sqrt[3]{5}}\)

b) \(\log_{2}{\frac{\sqrt{2}}{4}}\)

c) \(\log_{2}{16^{\log_{3}{\sqrt{3}}}}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 12.

Oblicz wartość wyrażenia: \(\log_{4}{a}+4\log_{a}{2}\) wiedząc, że \(\log_{16}{a}=3\) i \(a>1\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 13.

Oblicz wartość wyrażenia: \(W=\log_{\frac{1}{3}}{x}+\log_{9}{x^2}+\log_{\sqrt{3}}{\sqrt{x}}-log_{3}{x}\) dla \(x>0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 14.

Oblicz: \(\frac{5^{-\log_{5}{\frac{1}{8}}}}{2\log_{5}{10}-\log_{5}{4}}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 15.

Oblicz wartość wyrażenia \(4^{1-\log_{2}{3}}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 16.

Oblicz wartość wyrażenia \(W=5\log{a}-2\log{\frac{a^3}{b^2}}+\log{ab^6}\) dla \(a=\frac{7}{11}\) i \(b=\frac{1}{10}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 17.

Rozwiązać równanie:

a) \(2^x=3\)

b) \(2^x=3\)

Pokaż rozwiązanie zadania.



Powiązane quizy

Logarytm — quiz

Liczba pytań: 14
Quiz szkolny
Średni wynik:
10.96 / 78.29%
2024-03-07




Inne zagadnienia z tej lekcji


© medianauka.pl, 2009-04-05, A-180
Data aktualizacji artykułu: 2023-03-25



©® Media Nauka 2008-2023 r.