logo
Szukaj w serwisie:
 
 

Własności logarytmów

Z definicji logarytmu, a także z własności działań na potęgach dla a\in R_{+}\backslash \{1\} oraz b,c\in R_{+} prawdziwe są wszystkie poniższe zależności:


\log_{a}1=0

Przykład

\log_{5}1=0\\ \log_{\frac{4}{7}}1=0\\ \log_{\sqrt{7}}1=0

\log_{a}a=1

Przykład

\log_{5}5=1\\ \log_{\frac{4}{7}}\frac{4}{7}=1\\ \log_{\sqrt{7}}\sqrt{7}=1

Logarytm iloczynu

\log_{a}(b\cdot c)=\log_{a}b+\log_{a}c

Przykład

\log_{2}(8\sqrt{2})=\log_{2}8+\log_{2}\sqrt{2}=3+\frac{1}{2}=3\frac{1}{2}\\ \log_{2}24=\log_{2}(8\cdot 3)=\log_{2}8+\log_{2}3=3+\log_{2}3\\ \log_{\sqrt{7}}(49\sqrt{7})=\log_{\sqrt{7}}49+\log_{\sqrt{7}}\sqrt{7}=4+1=5

Logarytm ilorazu

\log_{a}\frac{b}{c}=\log_{a}b-\log_{a}c

Przykład

\log_{2}\frac{\sqrt{2}}{4}=\log_{2}\sqrt{2}-\log_{2}4=\frac{1}{2}-2=-1\frac{1}{2}\\ \log_{\frac{1}{2}}\frac{4}{7}=\log_{\frac{1}{2}}4-\log_{\frac{1}{2}}7=-2-\log_{\frac{1}{2}}7

Logarytm potęgi

Dla n\in R:

\log_{a}b^n=n\cdot \log_{a}b

Przykład

\log_{2}2^8=8\cdot \log_{2}2=8\cdot 1=8\\ \log_{2}\sqrt[5]{4}=\log_{2}4^{\frac{1}{5}}=\frac{1}{5}\log_{2}4=\frac{1}{5}\cdot 2=\frac{2}{5}\\ \log_{3}9^{\log_{2}\sqrt{2}}=\log_{2}\sqrt{2}\cdot \log_{3}9=\frac{1}{2}\cdot 2=1

Wzór na zmianę podstawy logarytmu

Dla c\neq 1:

\log_{a}b=\frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}

Przykład

\log_{\frac{1}{2}}32=\frac{\log_{2}32}{\log_{2}\frac{1}{2}}=\frac{5}{-1}=-5\\ \log_{\sqrt{2}}32=\frac{\log_{2}32}{\log_{2}\sqrt{2}}=\frac{5}{\frac{1}{2}}=10

a^{\log_{a}b}=b

Przykład

3^{\log_{3}7}=7\\ \sqrt{5}^{\log_{\sqrt{5}}\frac{5}{9}}=\frac{5}{9}

\log_{a}b=\frac{1}{\log_{b}a

Przykład

\log_{3}7=\frac{1}{log_{7}3}\\ \log_{2}\frac{4}{3}=\frac{1}{log_{\frac{4}{3}}2}

© Media Nauka, 2009-04-05, ART00086/180


spis treści
Zadania
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.



Zadanie 25 - własności logarytmów

Oblicz wartość wyrażenia W=5\log{a}-2\log{\frac{a^3}{b^2}}+\log{ab^6} dla a=\frac{7}{11} \ i \ b=\frac{1}{10}



Zadanie 26 - własności logarytmów

Oblicz 4^{1-\log_{2}{3}}



Zadanie 27 - własności logarytmów
Oblicz: \frac{5^{-\log_{5}{\frac{1}{8}}}}{2\log_{5}{10}-\log_{5}{4}}

Zadanie 28 - własności logarytmów
Oblicz wartość wyrażenia: W=\log_{\frac{1}{3}}{x}+\log_{9}{x^2}+\log_{\sqrt{3}}{\sqrt{x}}-log_{3}{x} dla x>0

Zadanie 29 - własności logarytmów
Oblicz wartość wyrażenia: \log_{4}{a}+4\log_{a}{2} wiedząc, że \log_{16}{a}=3 i a>1.

Zadanie 325 - własności logarytmów
Oblicz: \log_{5}{25\sqrt[3]{5}}

Zadanie 326 - działania na logarytmach
Oblicz: \log_{2}{\frac{\sqrt{2}}{4}}

Zadanie 327 - własności logarytmów
Oblicz: \log_{2}{16^{\log_{3}{\sqrt{3}}}}

Zadanie 24 - równanie wykładnicze
Rozwiązać równanie 2^x=3




Poprzedni artykuł  Poprzedni artykuł 
Następny artykuł  Następny artykuł 


Bibliografia
Zgłoś błąd



Lekcja: Logarytmy - definicja i własności
» Logarytm
Własności logarytmów
» Logarytm dziesiętny
» Logarytm naturalny
» Test kontrolny

Pozostało...
72 dni do wakacji 2014
Pozostało...
6 dni do egzaminu gimnazjalnego 2014
Pozostało...
18 dni do matury 2014

Zamieść link tekstowy do niniejszego artykułu na swojej stronie.