Zadanie - pole trójkąta

Treść zadania:

Dany jest wektor \(\vec{AB}=[2,5]\) zaczepiony w punkcie \(A=(1,1)\). Znaleźć taki punkt \(C\), leżący na prostej \(y=2\), że pole trójkąta \(ABC\) jest równe 10.


ksiązki Rozwiązanie zadania

Sporządzamy szkic:

Szkic do zadania

Ponieważ punkt C leży na prostej \(y=2\) jego rzędna jest równa 2. Szukamy odciętej \(x\). (Punkt C przesuwamy po prostej \(y=2\) i sprawdzamy kiedy pole trójkąta \(ABC\) będzie odpowiednie.) Pole trójkąta wyznaczonego przez dwa niezerowe wektory \(\vec{a}=[a_x,a_y], \ \vec{b}=[b_x,b_y]\) zaczepione we wspólnym początku jest równe połowie modułu wyznacznika tych wektorów.

\(W=\begin{vmatrix} a_x&a_y\\b_x&b_y \end{vmatrix}=a_xb_y-a_yb_x\\ P=\frac{1}{2}|W|\)

Mamy współrzędne wektora \(\vec{AB}=[2,5]\), brakuje nam wektora tło. Znajdziemy jego współrzędne:

\(A=(1,1), C=(x,2)\)

\(\vec{AC}=[x-1,2-1]=[x-1,1]\)

Obliczamy wyznacznik:

\(\vec{AB}=[2,5], \ \vec{AC}=[x-1,1]\\ W=\begin{vmatrix} 2&5\\x-1&1 \end{vmatrix}=2\cdot 1-(x-1)\cdot 5=2-5x+5=-5x+7\)

Pole powierzchni jest dane, równe 10 i jest równe:

\(P=\frac{1}{2}|W|\)

\(P=10\)

\(10=\frac{1}{2}|-5x+7|/\cdot 2\)

\(|-5x+7|=20\)

Mamy równanie liniowe z wartością bezwzględną. Korzystając z definicji wartości bezwzględnej:

x=\begin{cases} x, \ dla \ x\geq 0 \\ -x, \ dla \ x<0 \end{cases}

otrzymujemy:

Przypadek 1

Dla \(-5x+7\geq 0 \Leftrightarrow -5x\geq -7/:(-5) \Leftrightarrow x\leq \frac{7}{5}\) możemy opuścić wartość bezwzględną. Otrzymujemy równanie:

\(-5x+7=20\)

\(-5x=13/:(-5)\)

\(x=-\frac{13}{5}\)

\(x=-3\frac{3}{5}\)

\(C=(-3\frac{3}{5},2)\)

Przypadek 2

Dla \(-5x+7< 0 \Leftrightarrow x>\frac{7}{5}\) możemy opuścić wartość bezwzględną, zmieniając znak wyrażenia pod wartością bezwzględną. Otrzymujemy równanie:

\(5x-7=20\)

\(5x=27/:5\)

\(x=\frac{27}{5}\)

\(x=5\frac{2}{5}\)

\(C=(5\frac{2}{5},2)\)

Zadanie ma więc dwa rozwiązania:

ksiązki Odpowiedź

\(C=(-3\frac{3}{5},2) \ lub \ C=(5\frac{2}{5},2)\)

© medianauka.pl, 2011-02-12, ZAD-1150

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Wektory \(\vec{a}=[1,2], \vec{b}=[-3,4]\) wyznaczają trójkąt. Obliczyć jego pole.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Oblicz pole rombu \(ABCD\), jeżeli wiadomo, że \(A=(2,0), B=(3,2), C=(2,4), D=(1,2)\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Obliczyć pole równoległoboku \(ABCD\), jeżeli wiadomo, że \(A=(1,1), B=(5,1), C=(7,3), D=(3,3)\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Zbadać, czy wektory \(\vec{a}=[4,8], \vec{b}=[2,-1]\) są prostopadłe.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Jaki kąt tworzą ze sobą wektory \(\vec{a}, \vec{b}\), jeżeli ich iloczyn skalarny jest równy \(1\), a długości tych wektorów są równe odpowiednio \(2\) i \(1\)?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Dany jest wektor \(\vec{a}=[4,-5]\). Oblicz \(\vec{a}\circ 2\vec{a}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7.

Dane są wektory \(\vec{a}=2\vec{i}-4\vec{j}, \vec{b}=2\vec{i}+3\vec{j}\). Oblicz \(\vec{a}\circ \vec{b}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8.

Czy trójkąt wyznaczony przez wektory \(\vec{a}=[-2,4], \vec{b}=[3,1]\) jest trójkątem prostokątnym?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 9.

Zbadać, czy wektory \(\vec{a}=[12,24], \vec{b}=[-3,-6]\) są równoległe.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 10.

Dla jakiej wartości parametru \(m\) wektory \(\vec{a}=[2,-3], \vec{b}=[5,3m]\) są równoległe.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 11.

Dla jakiej wartości parametru \(m\) wektory \(\vec{a}=[m,3], \vec{b}=[4,-2m+1]\) są prostopadłe?

Pokaż rozwiązanie zadania.




©® Media Nauka 2008-2023 r.