Zadanie - równanie wykładnicze

Treść zadania:

Rozwiązać równanie:

a) \(2^x=3\)

b) \(2^x=3\)


ksiązki Rozwiązanie zadania

Aby rozwiązać oba równania musimy liczby po obu stronach równania doprowadzić do postaci potęg o równych podstawach. Aby to zrobić, możemy skorzystać z własności logarytmów.

\(a^{\log_{a}{b}}=b\)

a) Rozwiązujemy równanie pierwsze:

Liczbę 3 możemy zatem przedsatwić jako odpowiednią potęgę liczby 2. Otrzymujemy zatem:

\(2^x=2^{\log_{2}3}\)

Na mocy twierdzenia o równości potęg możemy przyrównać do siebie wykładniki potęg, otrzymując jednocześnie rozwiązanie równania. Wartość \(\log_{2}3\) mozna już odczytać z tablic lub obliczyć za pomocą kalkulatora. Można też rozwiązanie pozostawic w takiej postaci.

\(x=\log_{2}3\)

Z tablic matematycznych lub za pomocą kalkulatora albo arkusza kalkulacyjnego odczytujemy wartość tego logarytmu. Jest to w przybliżeniu \(1,584962501\).

b) W sposób analogiczny rozwiązujemy równanie drugie:

Liczbę 2 możemy zatem przedsatwić jako liczbę 3 podniesioną do odpowiedniej potęgi. Otrzymujemy zatem:

\(3^x=3^{\log_{3}2}\)

Otrzymujemy rozwiązanie:

\(x=\log_{3}2\)

Tym razem jest to w przybliżeniu \(0,630929754\).

ksiązki Odpowiedź

a) Rozwiązaniem równania \(2^x=3\) jest liczba \(\log_{2}3\approx 1,584962501\).

b) Rozwiązaniem równania \(3x=2\) jest liczba \(\log_{3}2\approx 0,630929754\).


© medianauka.pl, 2009-11-30, ZAD-407

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Rozwiązać równanie wykładnicze \(3^{\frac{1}{x}}=27^x\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Rozwiązać równanie wykładnicze \(8^{2x-4}=256\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Rozwiązać równanie wykładnicze \((\sqrt{2}+1)^{x+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Rozwiązać równanie wykładnicze \((\frac{1}{2})^{x-1}-2^{2x}-1=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Rozwiązać równanie wykładnicze \(4^x-2^{x+1}=-1\).

Pokaż rozwiązanie zadania.




©® Media Nauka 2008-2023 r.