Zadanie - obliczanie granic niewłaściwych z definicji
Treść zadania:
Wykazać, że \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}5^n=\infty\).
Rozwiązanie zadania
Ciąg jest rozbieżny do nieskończoności. Zgodnie z definicją granicy niewłaściwej ciągu musimy wykazać, że dla dowolnej liczby rzeczywistej \(M\) prawie wszystkie wyrazy tego ciągu są większe od tej liczby.
Mamy ciąg \(a_n=5^n\). Wypiszmy kilka pierwszych wyrazów tego ciągu:
\(a_1=5^1=5\)
\(a_2=5^2=25\)
\(a_3=5^3=125\)
\(...\)
Zakładamy więc, że \(M\) jest dowolną liczbą rzeczywistą i badamy, dla jakiej wartości \(n_0\):
\(a_n>M\)
\(5^n>M\)
Otrzymaliśmy nierówność wykładniczą.
W przypadku, gdy liczba \(M\) jest ujemna, nierówność jest prawdziwa dla każdej liczby naturalnej \(n\). Gdy \(M\) jest dodatnie, skorzystamy z własności logarytmów.
Należy liczbę \(M\) przedstawić jako potęgę o podstawie 5. Nasza nierówność przyjmuje postać:
\(5^n>5^{\log_{5}{M}}\)
\(n>\log_{5}{M}\)
Zatem wykazaliśmy, że dla dowolnej liczby rzeczywistej \(M\) począwszy od \(n_0\)-tego (\(n>\log_{5}{M}\)) wyrazu ciągu \((a_n)\) prawie wszystkie wyrazy ciągu są większe od liczby \(M\).
Zgodnie z definicją granicą tego ciągu jest nieskończoność.
Aby lepiej zrozumieć to rozwiązanie, przeanalizujmy przykład:
Niech np. \(M=5\). Zgodnie z naszymi wyliczeniami dla \(n_0>\log_{5}{5},\ n_0>1\) prawie wszystkie wyrazy ciągu są większe od \(M\). I rzeczywiście, dopiero dla \(n_0=2\) (i większych) prawie wszystkie wyrazy ciągu, czyli wszystkie za wyjątkiem wyrazu \(1\)-ego są większe od \(5\).
© medianauka.pl, 2010-01-02, ZAD-483
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Obliczyć granicę \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}(\frac{-n^2-4n+1}{n^2+2}-5)\).
Zadanie nr 2.
Obliczyć granicę \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}(\frac{n^3+n^2+2n+3}{n+1}-n^2)\).
Zadanie nr 3.
Wykazać, że \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt{n}=+\infty\).
Zadanie nr 4.
Wykazać na podstawie definicji granicy niewłaściwej, że \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}(1+2n)=+\infty\).
Zadanie nr 5.
Wykazać, że \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1-n^2}{n}=-\infty\).
Zadanie nr 6.
Wykazać na podstawie definicji, że \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{2n+3}{n}=2\).
Zadanie nr 7.
Obliczyć granicę \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1+2+3+...+n}{n^2+n-1}\).
Zadanie nr 8 — maturalne.
Granica \(\displaystyle\lim_{n\to \infty}{\frac{(pn^2+4n)^3}{5n^6-4}}=-\frac{8}{5}\). Wynika stąd, że
A. \(p=-8\)
B. \(p=4\)
C. \(p=2\)
D. \(p=-2\)
Zadanie nr 9 — maturalne.
Oblicz granicę \(\displaystyle\lim_{n\to \infty}(\frac{11n^3+6n+5}{6n^3+1}-\frac{2n^2+2n+1}{5n^2-4})\). W poniższe kratki wpisz kolejno cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.
Zadanie nr 10 — maturalne.
Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(\frac{3n^2+7n-5}{11-5n+5n^2}\) dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\). Granica tego ciągu jest równa
A. \(3\).
B. \(\frac{1}{5}\).
C. \(\frac{3}{5}\).
D. \(-\frac{5}{11}\).
Zadanie nr 11 — maturalne.
Oblicz granicę
.
W poniższe kratki wpisz kolejno – od lewej do prawej – cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po
przecinku skończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.
Zadanie nr 12 — maturalne.
Ciąg \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\) wzorem \(a_n=\frac{(7p-1)n^3+5pn-3}{(p+1)n^3+n^2+p}\), gdzie \(p\) jest liczbą rzeczywistą dodatnią. Oblicz wartość \(p\), dla której granica ciągu \(a_n\) jest równa \(\frac{4}{3}\). W poniższe kratki wpisz kolejno – od lewej do prawej – pierwszą, drugą oraz trzecią cyfrę po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.