logo
Szukaj w serwisie:
 
 

Zadanie 140 - monotoniczność ciągu

Treść zadania

Zbadaj monotoniczność ciągu
\begin{cases}a_1=1\\ a_n=a_{n-1}-1, \ dla \ n\geq 2 \end{cases}

Rozwiązanie zadania uproszczone

Dla n>2:
a_n=a_{n-1}-1 \\ a_n-a_{n-1}=-1<0

Dla n=2:
a_1=1 \\ a_2=a_1-1=0 \\ a_2-a_1=0-1=-1<0
Różnica każdych dwóch kolejnych wyrazów ciągu jest ujemna - ciąg jest malejący.

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Badanie monotoniczności ciągu sprowadza się do zbadania znaku różnicy an+1-an. Oznacza to, że badamy różnicę między wyrazem następnym i poprzedzającym go. Równie dobrze możemy zbadać różnicę an-an-1, gdyż nadal obliczamy różnicę dowolnych dwóch kolejnych wyrazów (podstawiając kolejne liczby naturalne zaczynając od liczby 2, badamy różnicę wyrazów drugiego i pierwszego, potem trzeciego i drugiego, czwartego i trzeciego i tak dalej). Ponieważ pierwszy wyraz ciągu jest dany i nie obliczamy go ze wzoru ogólnego, musimy dodatkowo sprawdzić znak różnicy wyrazów drugiego i pierwszego.

Dla n>2 stosujemy wzór ogólny na n-ty wyraz ciągu:

a_n=a_{n-1}-1 \\ a_n-a_{n-1}=-1<0

Dla n=2:

a_1=1 \\ a_2=a_1-1=0 \\ a_2-a_1=0-1=-1<0

Zatem różnica każdych dwóch kolejnych wyrazów ciągu jest ujemna - ciąg jest malejący.

Odpowiedź

Ciąg jest malejący

© Media Nauka, 2010-01-20

Zadania podobne

Zadanie 135 - monotoniczność ciągu
Zbadać monotoniczność ciągu a_n=n^2-2

Zadanie 136 - monotoniczność ciągu
Zbadać monotoniczność ciągu a_n=\frac{(-1)^n}{n}

Zadanie 137 - monotoniczność ciągu
Zbadać monotoniczność ciągu a_n=\frac{(1-n)n}{2-n}, \ dla \ n\geq 4


Zgłoś błąd