Zadanie - równanie kwadratowe z parametrem

Treść zadania:

Rozwiązać równanie \(\frac{3}{x-a}=\frac{x+a}{1-x}\) w zależności od parametru \(a\).


ksiązki Rozwiązanie zadania

Określimy teraz dziedzinę równania. Mianowniki ułamków muszą być różne od zera, zatem \(x\neq a\) i \(x\neq 1\).

Przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę i sprowadzamy do wspólnego mianownika.

\(\frac{3}{x-a}=\frac{x+a}{1-x}\)

\(\frac{3}{x-a}-\frac{x+a}{1-x}=0\)

\(\frac{3(1-x)}{(1-x)(x-a)}-\frac{(x+a)(x-a)}{(1-x)(x-a)}=0\)

\(\frac{3(1-x)-(x+a)(x-a)}{(1-x)(x-a)}=0\)

Ułamek jest równy zeru, gdy jego licznik jest równy zeru.

\(3(1-x)-(x+a)(x-a)=0\)

\(3-3x-(x^2-a^2)=0\)

\(3-3x-x^2+a^2=0\)

\(-x^2-3x+a^2+3=0\)

Sprowadziliśmy nasze równanie do równania kwadratowego z parametrem. Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego:

\(a=-1,\ b=-3,\ c=a^2+3\)

\(\Delta=b^2-4ac=(-3)^2-4\cdot (-1)\cdot (a^2+3)=\)

\(=9+4(a^2+3)=9+4a^2+12=4a^2+21\)

W zależności od znaku wyróżnika równanie może mieć jedno, dwa lub zero rozwiązań.

Jeżeli \(\Delta>0\) równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania.

\(\Delta>0\)

\(4a^2+21>0\)

\(\Delta_a=0^2-4\cdot 4\cdot 21=-336<0\)

Współczynnik przy \(a^2\) jest dodatni, ramiona paraboli skierowane są do góry, interesują nas wartości większe od zera, a więc rozwiązanie odczytujemy z wykresu:

Rysunek pomocniczy

Zatem dla dowolnej wartości parametru a (\(a\in \mathbb{R}\)) wyróżnik trójmianu kwadratowego \(\Delta\), znajdującego się po lewej stronie analizowanego równania jest dodatni. Równanie ma zatem dwa rozwiązania dla dowolnej wartości parametru \(a\). Znajdźmy to rozwiązanie:

\(x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{3-\sqrt{4a^2+21}}{-2}\)

\(x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{3+\sqrt{4a^2+21}}{-2}\)

Rozwiązania należą do dziedziny równania. Skoro dla każdej wartości parametru \(a\) równanie ma dwa rozwiązania, to nie ma takich wartości \(a\), dla której równania ma \(1\) lub \(0\) rozwiązań.

ksiązki Odpowiedź

Dla każdej wartości parametru a równanie ma dwa rozwiązania: \(x_1=\frac{3-\sqrt{4a^2+21}}{-2},\ x_2=\frac{3+\sqrt{4a^2+21}}{-2}\)

© medianauka.pl, 2010-02-13, ZAD-611

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Dla jakiej wartości parametru \(m\) równanie \(mx^2+4mx-m+1=0\) ma jedno rozwiązanie? Znajdź to rozwiązanie?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Dla jakich wartości parametru \(m\) suma odwrotności pierwiastków równania \(x^2-2(m+1)x+(m^2+3m-18)=0\) ma wartość ujemną?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Rozwiązać równanie \(\frac{2}{x-a}=\frac{x-a}{x}\) w zależności od parametru \(a\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Określić liczbę rozwiązań równania \((a+3)x^2-(a+1)x+1=0\) w zależności od parametru \(a\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Dla jakiej wartości parametru \(m\) równanie \(m^2x^2-6x+9=0\) ma jedno rozwiązanie?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Znaleźć taką wartość parametru m, dla której suma kwadratów pierwiastków równania \(x^2-mx-m-1=0\) jest najmniejsza.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 7 — maturalne.

Dany jest trójmian kwadratowy \(f(x)=x^2+2(m+1)x+6m+1\). Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru m, dla których ten trójmian ma dwa różne pierwiastki \(x_1\), \(x_2\) tego samego znaku, spełniające warunek \(|x_1-x_2|<3\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 8 — maturalne.

Dany jest trójmian kwadratowy \(f(x)=(m+1)x^2+2(m-2)x-m+4\). Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których trójmian \(f\) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste \(x_1, x_2\), spełniające warunek \(x_1^2-x_2^2=x_1^4-x_2^4\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 9 — maturalne.

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których trójmian kwadratowy \(4x^2-2(m+1)x+m\) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste \(x_1\) oraz \(x_2\), spełniające warunki: \(x_1 \neq 0, x_2\neq 0\) oraz \(x_1+x_2\leq \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.




©® Media Nauka 2008-2023 r.