II prawo de Morgana
W poprzednim artykule omówiliśmy I prawo de Morgana. W innych miejscach opisaliśmy także prawa de Morgana dla rachunku zbiorów oraz kwantyfikatorów.
Dla rachunku zdań mamy określone II prawo de Morgana w następujący sposób:
II prawo de Morgana:
Prawo to można słownie wyrazić poprzez zdanie: zaprzeczenie alternatywy dwóch zdań logicznych jest równoważne koniunkcji zaprzeczeń tych zdań.
Innymi słowy zdanie: nieprawda, że p lub q ma taką samą wartość logiczną co: nieprawda, że p i nieprawda, że q
Przykład
Zamiast zdania: nieprawda, że Słońce jest planetą lub jest osiem razy większe od Jowisza możemy powiedzieć nieprawda, że Słońce jest planetą i nieprawda, że Słońce jest osiem razy większe od Jowisza
Dowód
Aby udowodnić drugie prawo de Morgana należy wykazać, że zdania ~(p∨q), (~p)∧(~q) są równoważne (mają takie same wartości logiczne). Przeprowadzimy dowód dla wszystkich możliwych wartości logicznych.
Obliczymy najpierw wartości logiczne zdania ~(p∨q)
| p | q | Wyznaczamy wartości sumy logicznej zdań p i q | p∨q | Negujemy wyniki z poprzedniej kolumny i otrzymujemy wynik | ~(p∨q) |
| 0 | 0 | 0 | 1 | ||
| 0 | 1 | 1 | 0 | ||
| 1 | 0 | 1 | 0 | ||
| 1 | 1 | 1 | 0 |
Obliczymy teraz wartości logiczne zdania (~p)∧(~q):
| p | q | Negujemy zdania | ~p | ~q | Wyznaczamy iloczyn logiczny negacji zdań p i q i otrzymujemy wynik | (~p)∧(~q) |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | ||
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | ||
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | ||
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
Widać, że wartości logiczne w ostatnich kolumnach obu tabel są takie same, a zatem wykazaliśmy równoważność zdań: ~(p∨q), (~p)∧(~q).
© medianauka.pl, 2008-06-01, ART-46
Inne zagadnienia z tej lekcji
Zdanie logiczneZdanie logiczne jest to zdanie oznajmujące, któremu można przypisać prawdę lub fałsz
NegacjaNegacja (zaprzeczenie) to zdanie: nieprawda, że p i oznaczamy w następujący sposób: ~p
KoniunkcjaKoniunkcja, iloczyn logiczny. Zdanie p i q nazywamy koniunkcją lub iloczynem logicznym i oznaczamy p wedge q.
AlternatywaZdanie p lub q to alternatywa lub suma logiczna.
Równoważność zdańRównoważność zdań p i q jest to zdanie orzekające, że zdania p i q mają tę samą wartość logiczną.
Prawa de MorganaPierwsze prawo de Morgana: Zaprzeczenie koniunkcji dwóch zdań logicznych jest równoważne alternatywie zaprzeczeń tych zdań.
