Logo Media Nauka

II prawo de Morgana

W poprzednim artykule omówiliśmy I prawo de Morgana. W innych miejscach opisaliśmy także prawa de Morgana dla rachunku zbiorów oraz kwantyfikatorów.

Dla rachunku zdań mamy określone II prawo de Morgana w następujący sposób:

Teoria II prawo de Morgana:

~(p∨q)⇔(~p)∧(~q)

Prawo to można słownie wyrazić poprzez zdanie: zaprzeczenie alternatywy dwóch zdań logicznych jest równoważne koniunkcji zaprzeczeń tych zdań.

Innymi słowy zdanie: nieprawda, że p lub q ma taką samą wartość logiczną co: nieprawda, że p i nieprawda, że q

Przykład Przykład

Zamiast zdania: nieprawda, że Słońce jest planetą lub jest osiem razy większe od Jowisza możemy powiedzieć nieprawda, że Słońce jest planetą i nieprawda, że Słońce jest osiem razy większe od Jowisza

Teoria Dowód

Aby udowodnić drugie prawo de Morgana należy wykazać, że zdania ~(p∨q), (~p)∧(~q) są równoważne (mają takie same wartości logiczne). Przeprowadzimy dowód dla wszystkich możliwych wartości logicznych.

Obliczymy najpierw wartości logiczne zdania ~(p∨q)

pq

Wyznaczamy wartości sumy logicznej zdań p i q

p∨q

Negujemy wyniki z poprzedniej kolumny i otrzymujemy wynik

~(p∨q)
0001
0110
1010
1110

Obliczymy teraz wartości logiczne zdania (~p)∧(~q):

pq

Negujemy zdania
p i q

~p~q

Wyznaczamy iloczyn logiczny negacji zdań p i q i otrzymujemy wynik

(~p)∧(~q)
00111
01100
10010
11000

Widać, że wartości logiczne w ostatnich kolumnach obu tabel są takie same, a zatem wykazaliśmy równoważność zdań: ~(p∨q), (~p)∧(~q).


© medianauka.pl, 2008-06-01, ART-46





Inne zagadnienia z tej lekcji

Zdanie logiczneZdanie logiczne
Zdanie logiczne jest to zdanie oznajmujące, któremu można przypisać prawdę lub fałsz
NegacjaNegacja
Negacja (zaprzeczenie) to zdanie: nieprawda, że p i oznaczamy w następujący sposób: ~p
KoniunkcjaKoniunkcja
Koniunkcja, iloczyn logiczny. Zdanie p i q nazywamy koniunkcją lub iloczynem logicznym i oznaczamy p wedge q.
AlternatywaAlternatywa
Zdanie p lub q to alternatywa lub suma logiczna.
Równoważność zdańRównoważność zdań
Równoważność zdań p i q jest to zdanie orzekające, że zdania p i q mają tę samą wartość logiczną.
Prawa de MorganaPrawa de Morgana
Pierwsze prawo de Morgana: Zaprzeczenie koniunkcji dwóch zdań logicznych jest równoważne alternatywie zaprzeczeń tych zdań.



© Media Nauka 2008-2018 r.