II prawo de Morgana

Inne zagadnienia z tej lekcji

W poprzednim artykule omówiliśmy I prawo de Morgana. W innych miejscach opisaliśmy także prawa de Morgana dla rachunku zbiorów oraz kwantyfikatorów.

Dla rachunku zdań mamy określone II prawo de Morgana w następujący sposób:

II prawo de Morgana:

~(p∨q)⇔(~p)∧(~q)

Prawo to można słownie wyrazić poprzez zdanie: zaprzeczenie alternatywy dwóch zdań logicznych jest równoważne koniunkcji zaprzeczeń tych zdań.

Innymi słowy zdanie: nieprawda, że p lub q ma taką samą wartość logiczną co: nieprawda, że p i nieprawda, że q

Przykład

Zamiast zdania: nieprawda, że Słońce jest planetą lub jest osiem razy większe od Jowisza możemy powiedzieć nieprawda, że Słońce jest planetą i nieprawda, że Słońce jest osiem razy większe od Jowisza

Dowód

Aby udowodnić drugie prawo de Morgana należy wykazać, że zdania ~(p∨q), (~p)∧(~q) są równoważne (mają takie same wartości logiczne). Przeprowadzimy dowód dla wszystkich możliwych wartości logicznych.

Obliczymy najpierw wartości logiczne zdania ~(p∨q)

p	q	Wyznaczamy wartości sumy logicznej zdań p i q	p∨q	Negujemy wyniki z poprzedniej kolumny i otrzymujemy wynik	~(p∨q)
0	0		0		1
0	1		1		0
1	0		1		0
1	1		1		0

Obliczymy teraz wartości logiczne zdania (~p)∧(~q):

Widać, że wartości logiczne w ostatnich kolumnach obu tabel są takie same, a zatem wykazaliśmy równoważność zdań: ~(p∨q), (~p)∧(~q).

Negujemy zdania
p i q

Wyznaczamy iloczyn logiczny negacji zdań p i q i otrzymujemy wynik

(~p)∧(~q)

Zdanie logiczne

Zdanie logiczne jest to zdanie oznajmujące, któremu można przypisać prawdę lub fałsz

Negacja

Negacja (zaprzeczenie) to zdanie: nieprawda, że p i oznaczamy w następujący sposób: ~p

Koniunkcja

Koniunkcja, iloczyn logiczny. Zdanie p i q nazywamy koniunkcją lub iloczynem logicznym i oznaczamy p wedge q.

Alternatywa

Zdanie p lub q to alternatywa lub suma logiczna.

Równoważność zdań

Równoważność zdań p i q jest to zdanie orzekające, że zdania p i q mają tę samą wartość logiczną.

Prawa de Morgana

Pierwsze prawo de Morgana: Zaprzeczenie koniunkcji dwóch zdań logicznych jest równoważne alternatywie zaprzeczeń tych zdań.

Test wiedzy

Sprawdź swoje umiejętności z materiału zawartego w tej lekcji.