Logo Serwisu Media Nauka


Ciąg geometryczny

Definicja Definicja

Ciąg (an) jest ciągiem geometrycznym, jeżeli istnieje liczba q\neq 0, że dla każdego n w przypadku ciągu nieskończonego i dla każdego n<k w przypadku ciągu skończonego, k-wyrazowego oraz k≥3 spełniony jest warunek:

\frac{a_{n+1}}{a_n}=q

Liczbę q nazywamy ilorazem ciągu geometrycznego.

Mówiąc inaczej, jeżeli iloraz każdych dwóch kolejnych wyrazów ciągu jest stały, to mamy do czynienia z ciągiem geometrycznym. Oto przykłady takich ciągów.

Przykład Przykład

Przykład ciąguIloraz ciągu geometrycznego
(1,2,4,8,...)q=2
(-1,2,-4,8,...)q=-2
(1,5,25,125)q=5
(1,\ \frac{1}{2}, \ \frac{1}{4},\ \frac{1}{8},...)q=\frac{1}{2}
(1,\ \sqrt{2}, \ 2,\ 2\sqrt{2},...)q=\sqrt{2}

Jak zbudować ciąg geometryczny?

Teoria Jeżeli znamy pierwszy wyraz ciągu i iloraz q, to łatwo można budować pozostałe wyrazy ciągu. Wystarczy poprzedni wyraz pomnożyć przez iloraz q.

Jeżeli ciąg jest wyrażony za pomocą wzoru, to aby sprawdzić, czy dany ciąg jest geometryczny, należy sprawdzić iloraz dwóch kolejnych wyrazów zgodnie z definicją.

Przykład Przykład

Sprawdzimy, czy ciąg a_n=\frac{5}{2^n} jest ciągiem geometrycznym.
Obliczamy
a_{n+1}=\frac{5}{2^(n+1)}=\frac{5}{2\cdot 2^n}
Obliczamy iloraz
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\frac{5}{2\cdot 2^n}}{\frac{5}{2^n}}=\frac{5}{2\cdot 2^n}\cdot \frac{2^n}{5}=\frac{1}{2}=const=r
Otrzymaliśmy wartość stałą (constans), a więc iloraz każdych kolejnych dwóch wyrazów jest taki sam - ciąg jest ciągiem geometrycznym.

Przykład Przykład

Sprawdzimy, czy ciąg a_n=n^2 jest ciągiem geometrycznym.
Obliczamy
a_{n+1}=(n+1)^2=n^2+2n+1
Obliczamy iloraz
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{n^2+2n+1}{n^2}=1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2} \neq const
Nie otrzymaliśmy stałej wartości, a jedynie wyrażenie zależne od liczby n. Dany ciąg nie jest więc ciągiem geometrycznym.


© Media Nauka, 2009-08-24, ART-307



Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.


maturalne zadania zadanie - ikonka Zadanie maturalne nr 15, matura 2016 (poziom podstawowy)
Ciąg (x,2x+3,4x+3) jest geometryczny. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy:

A. -4
B. 1
C. 0
D. -1

maturalne zadania zadanie - ikonka Zadanie maturalne nr 7, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Dany jest ciąg geometryczny (an) określony wzorem a_n=(\frac{1}{2x-371})^n, dla n ≥1. Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie. Wyznacz najmniejszą liczbę całkowitą x, dla której nieskończony szereg a1+a2+a3+... jest zbieżny.

maturalne zadania zadanie - ikonka Zadanie maturalne nr 34, matura 2015 (poziom podstawowy)
W nieskończonym ciągu arytmetycznym (an), określonym dla n≥1, suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 187. Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa 12. Wyrazy a1, a3, ak ciągu (an), w podanej kolejności, tworzą nowy ciąg – trzywyrazowy ciąg geometryczny (bn). Oblicz k.



Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy