Logo Serwisu Media Nauka


Ciąg liczbowy

Definicja Definicja

Ciąg nieskończony (lub po prostu ciąg) jest to funkcja, która odwzorowuje zbiór liczb naturalnych (bez zera) w niepusty zbiór Y.

Wartość funkcji dla argumentu n (n=1,2,3,...) oznaczamy przez a_n i nazywamy n-tym wyrazem ciągu. Ciąg oznaczamy przez (a_n) lub (a_1,a_2,a_3,...).

Jeżeli wyrazami ciągu są liczby, to taki ciąg nazywamy liczbowym.

Przykład Przykład

Oto kilka przykładów ciągów:
(1,2,3,4,5...)
(2,4,6,8,16,...)
(-5,-6,-7,-8,...)
(0,2,0,3,0,4,...)
(1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},...)

Jak widać ciąg stanowią kolejno (kolejność jest tutaj istotna) ułożone liczby według jakiegoś schematu. Schemat ten wyrażamy zwykle za pomocą wzoru.

Przykład Przykład

Wyrazimy za pomocą wzoru ciąg (2,4,6,8,...).
Widać, że wyrazami ciągu są liczby parzyste. Możemy więc zapisać, że n-ty wyraz ciągu wyraża się wzorem a_n=2n, a sam ciąg zapisać jako (2n).

Przykład Przykład

Poniższa animacja ilustruje w jaki sposób tworzymy wyrazy ciągu na podstawie jego wzoru.

Teoria Ciąg liczbowy może być określony za pomocą wzoru rekurencyjnego oraz odpowiedniej liczby wyrazów. Znaczenie rekurencji polega na odwoływaniu się funkcji do samej siebie. Oto przykład takiego określenia ciągu:

Przykład Przykład

Ciąg jest określony w następujący sposób:
\begin{cases}a_1=1\\a_2=3\\a_n=a_{n-2}+a_{n-1}\end{cases}
Powyższy wzór określa ciąg o wyrazach: (1,3,4,7,11,...)
Wyrazy tego ciągu określamy dodając do siebie dwa kolejne poprzednie wyrazy ciągu.
Aby obliczyć na przykład piąty wyraz ciągu stosujemy wzór a5=a3+a4.

Definicja Definicja

Ciąg skończony jest to funkcja, która odwzorowuje zbiór {1,2,3,...,k} w niepusty zbiór Y.
Wartość funkcji dla argumentu n (n=1,2,3,...,k) oznaczamy przez a_n i nazywamy n-tym wyrazem ciągu.Ciąg skończony oznaczamy przez (a_n) lub (a_1,a_2,a_3,...,a_k).

Przykład Przykład

Oto kilka przykładów ciągów skończonych:
(1,2,3,4,5)
(2,4,6,8)
(-5,-6,-7,-8,...,-100005)
(0,2,0,3,0,4,...,0,100)


© Media Nauka, 2009-08-20, ART-293



Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.


zadanie - ikonka Zadanie 138 - ciąg, znajdowanie elementów ciągu
Napisać:
a) trzy początkowe wyrazy ciągu a_n=\frac{n[2-(-2)^{n+1}]}{n+1} oraz znaleźć dziewiąty wyraz tego ciągu
b) pięć początkowych wyrazów ciągu
\begin{cases}a_1=2 \\ a_2=4 \\ a_n=a_{n-2}+2a_{n-1}, \ dla \ n\geq 3 \end{cases}



Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy