Logo Serwisu Media Nauka


Działania na pierwiastkach

Teoria Dla liczb naturalnych m i n oraz liczb rzeczywistych a≥0 i b≥0 prawdziwe są następujące wzory:

1)\ (\sqrt[n]{a})^n=a\\ 2)\ \sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}\\ 3)\ \sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}},\ b\neq 0\\ 4)\ \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[m\cdot n]{a}\\ 5)\ (\sqrt[n]{a})^m=\sqrt[n]{a^m}


Przykład Przykład 1

Przykłady zastosowania pierwszego wzoru:

(\sqrt[5]{77})^5=77

Powyższe wynika bezpośrednio z definicji pierwiastkowania jako działania odwrotnego do potęgowania.

Przykład Przykład 2

Przykłady zastosowania drugiego wzoru:

\sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{27\cdot 2}=\sqrt[3]{27}\cdot \sqrt[3]{2}=3\sqrt[3]{2} \\ \sqrt[4]{32}=\sqrt[4]{16\cdot 2}=\sqrt[4]{16}\cdot \sqrt[4]{2}=2\sqrt[4]{2}

Przykład Przykład 3

Przykłady zastosowania trzeciego wzoru:

\sqrt[3]{\frac{3}{64}}=\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{64}}=\frac{1}{4}\sqrt[3]{3} \\ \sqrt{\frac{9}{16}}=\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}}=\frac{3}{4}

Przykład Przykład 4

Przykłady zastosowania czwartego wzoru:

\sqrt[4]{\sqrt[3]{12}}=\sqrt[4\cdot 3]{12}=\sqrt[12]{12} \\ \sqrt[4]{\sqrt{256}}=\sqrt[4\cdot 2]{256}=\sqrt[8]{256}=2

Przykład Przykład 5

Przykłady zastosowania piątego wzoru:

(\sqrt[3]{5})^2=\sqrt[3]{5^2}=\sqrt[3]{25} \\ (\sqrt[4]{3})^3=\sqrt[4]{3^3}=\sqrt[4]{27}

Teoria Dla każdej wartości a (a nie tylko dla dodatnich lub równych zero) pierwszy przytoczony tutaj wzór dla stopnia drugiego pierwiastka przyjmuje postać.

\sqrt{a^2}=|a|

czyli dla a≥0 mamy \sqrt{a^2}=|a|=a, natomiast dla a<0 mamy \sqrt{a^2}=|a|=-a.


© Media Nauka, 2009-01-24, ART-146



Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.


zadanie - ikonka Zadanie 9 - działania na pierwiastkach, obliczanie wartości wyrażenia
Oblicz wartość wyrażenia \sqrt[3]{\frac{216}{1331}}

zadanie - ikonka Zadanie 10 - działania na pierwiastkach - Oblicz wartość wyrażenia ...
Oblicz \sqrt{\frac{a^2}{b^2}}

zadanie - ikonka Zadanie 11 - działania na pierwiastkach - Oblicz wartość pierwiastka
Oblicz wartość pierwiastka \sqrt{\frac{9a^2b^4}{4}}

zadanie - ikonka Zadanie 12 - Działania na pierwiastkach - Oblicz wartość pierwiastka
Oblicz wartość pierwiastka dla b>0: \sqrt{\frac{a^6}{b^2}}

zadanie - ikonka Zadanie 13 - działania na pierwiastkach i potęgach - Korzystając z własności działań na pierwiastkach oblicz
Korzystając z własności działań na pierwiastkach lub potęgach oblicz: \sqrt{2}\cdot \sqrt[3]{2}

zadanie - ikonka Zadanie 14 - działania na pierwiastkach i potęgach
Korzystając z własności działań na pierwiastkach lub potęgach oblicz: \sqrt{2}\cdot \sqrt[4]{4}:\sqrt[5]{16}

zadanie - ikonka Zadanie 15 - działania na pierwiastkach i potęgach
Oblicz wartość wyrażenia: \sqrt{\sqrt[5]{\sqrt[4]{2^{48}}}}

zadanie - ikonka Zadanie 16 - nierówność kwadratowa, właściwości pierwiastka, nierówność z parametrem
Dla jakiej wartości parametru x prawdziwa jest równość \sqrt{(x^2-2x+1)^2}=x^2-2x+1?

zadanie - ikonka Zadanie 17 - wartość bezwzględna, własności pierwiastków - Zadanie: Uprościć wyrażenia
Uprościć wyrażenie W=\sqrt{(a-1)^2}+\sqrt{(a+1)^2}.



Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy