Logo Serwisu Media Nauka


Funkcja kwadratowa

Definicja i podstawowe własności

Definicja Definicja

Funkcję w postaci

y=ax^2+bx+c

 

gdzie x\in{R},\quad{a}\neq{0},\quad{b},\quad{c} - liczby dane (rzeczywiste), nazywamy funkcją kwadratową, trójmianem kwadratowym lub funkcją drugiego stopnia.

Przykład Przykład

Przykłady funkcji kwadratowych:

y=5x^2+9x-4\\{y=-x^2-x}\\{y=2x^2-7}\\{y=x^2}

Teoria Szczególnym przypadkiem trójmianu kwadratowego jest jednomian drugiego stopnia (kwadratowy).
Jest to funkcja w postaci y=ax^2. Jest to więc przypadek, w którym b=c=0.

Wykres i własności jednomianu kwadratowego

Teoria Podstawowe własności funkcji kwadratowej można określić na podstawie przykładu jednomianu kwadratowego.

Wykres trójmianu kwadratowego będziemy sporządzać korzystając z możliwości przesuwania wykresu jednomianu kwadratowego o określony wektor w układzie współrzędnych. Będziemy to omawiać przy okazji postaci kanonicznej trójmianu kwadratowego.

Przykład Przykład

Sporządźmy więc wykres kilku funkcji:

y=x^2\\{y=-x^2}\\{y=2x^2}\\{y=\frac{1}{2}x^2},

gdzie a jest dowolną liczbą.

Sporządźmy tabelkę zmienności funkcji.

x-2-101/212
y=x24101/414
y=-x2-4-10-1/4-1-4
y=2x28201/228
y=1/2x221/201/81/22

Na jednym układzie współrzędnych wykreślamy wykresy wszystkich funkcji.

Wykres jednomianu kwadratowego

Możemy teraz określić podstawowe własności wykresu oraz samej funkcji (jednomianu kwadratowego).

  • Wykresem jednomianu kwadratowego jest krzywa, którą nazywamy parabolą.
    Parabola ma dwa ramiona, które mogą być skierowane w górę, gdy współczynnik a>0 oraz skierowane w dół, kiedy współczynnik a<0.
  • Im większy jest współczynnik a, tym parabola jest "węższa".
  • Parabola posiada jeden wierzchołek w punkcie (0,0).
  • Dziedziną jednomianu kwadratowego jest zbiór liczb rzeczywistych.
  • Zbiorem wartości jednomianu kwadratowego jest zbiór <0;+\infty), gdy a>0 oraz (-\infty;0>, gdy a<0.
  • Jednomian kwadratowy jest funkcją parzystą. Oś OY jest osią symetrii paraboli, a punkt przecięcia się tej osi z parabolą jest wierzchołkiem paraboli.
  • Monotoniczność jednomianu kwadratowego: funkcja maleje w przedziale (-\infty;0) i rośnie w przedziale (0;+\infty), gdy a>0 oraz rośnie w przedziale (-\infty;0) i maleje w przedziale (0;+\infty), gdy a<0.
  • Gdy a<0 funkcja osiąga wartość największą (maksimum) w punkcie x=0 równe 0, natomiast dla a>0 funkcja osiąga wartość najmniejszą (minimum) w punkcie x=0 równe 0.
  • Jednomian kwadratowy ma jedno miejsce zerowe x0=0.

Teoria Zmienność wykresu funkcji kwadratowej w zależności od współczynników a, b, c można prześledzić za pomocą aplikacji udostępnionej na stronie http://phet.colorado.edu/simulations/sims.php?sim=Equation_Grapher. Można tutaj za pomocą suwaków zmieniać wartości odpowiednich współczynników i obserwować zachowanie wykresu funkcji kwadratowej.


© Media Nauka, 2009-07-19, ART-267



Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.


maturalne zadania zadanie - ikonka Zadanie maturalne nr 10, matura 2016 (poziom podstawowy)
Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej f. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W = (1,9) . Liczby -2 i 4 to miejsca zerowe funkcji f.

ilustracja do zadania nr 10 matura 2016

Zbiorem wartości funkcji f jest przedział:

A. (-∞,-2>
B. <-2,4>
C. <4,∞)

maturalne zadania zadanie - ikonka Zadanie maturalne nr 11, matura 2015 (poziom podstawowy)
Funkcja kwadratowa określona jest wzorem f(x)=x2+x+c. Jeżeli f(3)=4, to :

A. f(1)=-6
B. f(1)=0
C. f(1)=6
D. f(1)=18

maturalne zadania zadanie - ikonka Zadanie maturalne nr 29, matura 2015 (poziom podstawowy)
Oblicz najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej f(x)=x2-6x+3 w przedziale <0,4>.

maturalne zadania zadanie - ikonka Zadanie maturalne nr 7, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Liczby (-1) i 3 są miejscami zerowymi funkcji kwadratowej f . Oblicz \frac{f(6)}{f(12)}.



Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy