Funkcja logarytmiczna

Funkcja logarytmiczna jest to funkcja w postaci:

\(y=\log_{a}x\)

gdzie \(a>0, a\neq 1\).

Przykłady

Przykłady funkcji logarytmicznej:

  • \(y=\log{x}\)
  • \(y=\ln{x}\)
  • \(y=\log_{2}{x}\)
  • \(y=\log_{\frac{1}{2}}{x}\)

Własności funkcji logarytmicznej

W rozważaniach na temat logarytmów niezwykle ważne są wzory związane z wykonywaniem działań na logarytmach. Działania na logarytmach zostały omówione tutaj.

Wykres funkcji logarytmicznej

wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Wykres funkcji logarytmicznej nosi nazwę krzywej logarytmicznej. Wykresy funkcji logarytmicznej różnią się znacznie w przypadku, gdy podstawa logarytmu jest większa lub mniejsza od jedności.

Przykłady

Sporządzić wykres funkcji \(y=\log_{2}{x},y=\log_{\frac{1}{2}}{x}\).

Sporządzamy najpierw tabelkę zmienności tych funkcji:

\(x\) \(\frac{1}{4}\) \(\frac{1}{2}\)124
\(y=\log_{2}{x}\)-2-1012
\(y=\log_{\frac{1}{2}}{x}\)210-1-2

Szkicujemy wykresy obu funkcji.

wykres funkcji logarytmicznej

Zauważ, że funkcja ta ma jedno miejsce zerowe \(x_0=1\).

WykresWykres funkcji logarytmicznej — symulacja

Poniższa symulacja pozwala zaobserwować zachowanie się wykresu funkcji logarytmicznej w zależności od wartości współczynnika a - podstawy logarytmu


Funkcja w postaci y = logax, czyli y =

a 1

Pytania

Jak wyznaczyć miejsce zerowe funkcji logarytmicznej?

Wyznaczenie miejsc zerowych funkcji logarytmicznej sprowadza się do rozwiązania równania logarytmicznego \(\log_a{x}=0\). Rozwiązanie tego równania jest \(x_0=1\). O tym, w jaki sposób rozwiązujemy takie równania, piszemy w artykule: Równanie logarytmiczne.

Jaka jest dziedzina logarytmu naturalnego?

Dziedziną funkcji logarytmicznej \(y=\ln{x}\) jest zbiór liczb rzeczywistych dodatnich \(\mathbb{R}_+\).



Zadania z rozwiązaniami

zadanie maturalne

Zadanie nr 1.

Wyznaczyć dziedzinę funkcji \(y=\log(5x^2-3x+1)\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 2.

Wyznaczyć dziedzinę funkcji \(y=\log_{\frac{1}{2}}{\frac{x}{x+2}}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 3.

Wyznaczyć dziedzinę funkcji \(y=\log_{(-x^2+2x)}{(x^3-x^2)}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 4.

Naszkicować wykres funkcji \(y=\log_{\frac{1}{3}}{(x-3)}+1\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 5.

Naszkicować wykres funkcji \(y=\log_{2}{4x}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 6.

Naszkicować wykres funkcji \(y=\log_{\frac{1}{2}}{(\sqrt{2}x+2\sqrt{2})}+1\).

Pokaż rozwiązanie zadania.





Inne zagadnienia z tej lekcji


© medianauka.pl, 2009-12-06, A-414
Data aktualizacji artykułu: 2023-04-30



©® Media Nauka 2008-2023 r.