Logo Serwisu Media Nauka


Funkcja odwrotna i funkcja tożsamościowa

Teoria Jeżeli każdemu elementowi x ze zbioru X są przyporządkowane różne elementy y ze zbioru Y za pomocą funkcji f, to możemy również każdemu elementowi y ze zbioru Y przyporządkować dokładnie jeden element x ze zbioru X tak, że obrazem x w odwzorowaniu f jest y.
W ten sposób stworzyliśmy funkcję odwrotną do funkcji f i oznaczamy ją przez f -1.

Odwzorowanie odwrotne ilustruje poniższa animacja:



Warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, aby funkcja f:XY posiadała funkcję odwrotną jest następujący: funkcja f musi być różnowartościowa, a zbiór Y zbiorem wartości funkcji f.

Odwzorowanie, do którego istnieje odwzorowanie odwrotne nazywamy wzajemnie jednoznacznym albo odwracalnym.

Oczywiście nie każda funkcja posiada funkcję odwrotną. Na przykład funkcja f(x)=5 nie posiada funkcji odwrotnej, gdyż nie jest to funkcja różnowartościowa.

Aby znaleźć funkcję odwrotną do funkcji y=f(x) wystarczy wyrazić x poprzez wartość y i w ten sposób otrzymujemy funkcję x=g(y). Zamieniając ze sobą symbole x i y otrzymujemy wzór funkcji odwrotnej.

Przykład Przykład

Znajdziemy funkcję odwrotną do y=2x+1

Wyznaczamy x z powyższego równania:
.2x=y-1\\ x=\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}
Zamieniamy teraz ze sobą symbole x i y i otrzymujemy wzór funkcji odwrotnej: y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}

Teoria Odwzorowaniem tożsamościowym nazywamy odwzorowanie zbioru X na X, takie że x\rightarrow y=x

Przykładem funkcji tożsamościowej jest funkcja f(x)=x. Funkcja f(x)=2x już tożsamościowa nie jest.
Odwzorowanie tożsamościowe i odwrotne do niego jest wzajemnie jednoznaczne.


© Media Nauka, 2009-05-20, ART-210



Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.


zadanie - ikonka Zadanie 297 - funkcja odwrotna
Znaleźć funkcję odwrotną do funkcji y=2x-5



Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy