Logo Media Nauka
Sklep naukowy

Granica funkcji

Wzory podstawowe

Teoria Przy obliczaniu granic w praktyce posługujemy się podstawowymi równościami, które zostały wymienione niżej:

\lim_{x\to a}{c}=c


Przykład Przykład

\lim_{x\to 5}{2}=2\\{\lim_{x\to -1}{(-5)}=-5}\\{\lim_{x\to 0}{0}=0}

\lim_{x\to a}{x}=a

Przykład Przykład

\lim_{x\to 5}{x}=5\\ \lim_{x\to -1}{x}=-1\\ \lim_{x\to 0}{x}=0

\lim_{x\to a}{\sqrt[n]{x}=\sqrt[n]{a}, \ a> 0, \ n\in N

Przykład Przykład

\lim_{x\to 5}{\sqrt[3]{x}}=\sqrt[3]{5} \\ \lim_{x\to 9}{\sqrt{x}=\sqrt{9}=3

\lim_{x\to a}{\sin{x}}=\sin{a}

Przykład Przykład

\lim_{x\to 0}{\sin{x}}=\sin{0}=0 \\ \lim_{x\to \frac{\pi}{2}}{\sin{x}}=\sin{\frac{\pi}{2}}=1

\lim_{x\to 0}{\frac{\sin{x}}{x}}=1

Przykład Przykład

\lim_{x\to 0}{\frac{\sin{x}}{x}}=1

Stosujemy także kilka wzorów rachunku granic. Oto one:

Twierdzenie Twierdzenie

Jeżeli funkcja f(x) oraz g(x) mają w punkcie x0 granice
\lim_{x\to x_0}{f(x)}=a, \ \lim_{x\to x_0}{g(x)}=b
to:

\lim_{x\to x_0}{[f(x)+g(x)]=a+b} \\ \lim_{x\to x_0}{[f(x)-g(x)]=a-b} \\ \lim_{x\to x_0}{[f(x)\cdot g(x)]=a\cdot b} \\ \lim_{x\to x_0}{[f(x):g(x)]=a:b (b\neq 0)}

Dodatkowo na podstawie powyższych zależności można wywnioskować, że:

\lim_{x\to x_0}{c\cdot f(x)}=c\cdot \lim_{x\to x_0}{f(x)}

Oto kilka przykładów obliczania granic funkcji w punkcie z wykorzystaniem powyższych twierdzeń i wzorów:

Przykład Przykład

\lim_{x\to 0}{(x+\sin{x})}=0+\sin{0}=0 \\ \lim_{x\to -1}{(1-x)}=\lim_{x\to -1}{1}-\lim_{x\to -1}{x}=1-(-1)=2 \\ \lim_{x\to \pi}{(x\sin{x})}=\lim_{x\to \pi}{x}\cdot \lim_{x\to \pi}{\sin{x}}=\pi \cdot \sin{\pi}=0\\ \lim_{x\to 1}{\frac{1}{x}}=\frac{\lim_{x\to 1}{1}}{\lim_{x\to 1}{x}}=1


© medianauka.pl, 2010-08-25, ART-870






Inne zagadnienia z tej lekcji


Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.


zadanie-ikonka Zadanie - granica funkcji
Obliczyć granicę funkcji \lim_{x\to -1}{\frac{x-5}{1-x^3}}

zadanie-ikonka Zadanie - granica funkcji
Obliczyć granicę funkcji \lim_{x\to 0}{\frac{\sin{3x}}{x}}

zadanie-ikonka Zadanie - granica funkcji
Obliczyć granicę funkcji \lim_{x\to -1}{\frac{x^4-1}{x^2-1}}

zadanie-ikonka Zadanie - granica funkcji w punkcie
Obliczyć granicę funkcji \lim_{x\to 0}{\frac{\sin^2{4x}}{\sin^2{2x}}}




Polecamy koszyk



© Media Nauka 2008-2017 r.