Nierówności trygonometryczne

Nierówność trygonometryczna jest to nierówność, w której niewiadoma występuje pod znakiem funkcji trygonometrycznej.

Przykłady

Przykłady nierówności trygonometrycznych:

\(\sin{x}<\sqrt{2}\)
\( tg(x-\frac{\pi}{2})\leq -1\)
\(\sin{x}\geq\cos{x}\)

Rozwiązanie prostych nierówności najlepiej przeprowadzić w taki sposób, aby po jednej stronie nierówności znalazło się wyrażenie trygonometryczne elementarne (patrz równania trygonometryczne), a po drugiej wyrażenie liczbowe. Wówczas sporządzając odpowiedni wykres, można odczytać rozwiązanie wprost z wykresu.

Przykład

Rozwiążemy graficznie nierówność:

\(\sin{x}\geq \frac{1}{2}\)

Sporządzamy wykresy funkcji: \(y=\sin{x}, \ y=\frac{1}{2}\) i zaznaczamy wszystkie wartości funkcji sinus, które leżą powyżej lub na prostej \(y=\frac{1}{2}\).

Sporządzamy wykres:

wykres - nierówności trygonometryczne

Zaznaczamy rozwiązania równania trygonometrycznego \(\sin{x}=\frac{1}{2}\), którego interpretacją geometryczną są punkty przecięcia obu wykresów. Jest to rozwiązanie równania elementarnego:

\(x=\frac{\pi}{6}+2k\pi \ \vee \ x=\pi-\frac{\pi}{6}+2k\pi, \ k\in C\)

\( x=\frac{\pi}{6}+2k\pi \ \vee \ x=\frac{5}{6}\pi+2k\pi, \ k\in C\)

Wszystkie wartości funkcji sinus większe lub równa \(\frac{1}{2}\) zawierają się w przedziale: \(\langle \frac{\pi}{6}+2k\pi;\frac{5}{6}\pi+2k\pi\rangle, \ k\in C\).

Rozwiązanie zaznaczono na rysunku poprzez zakreskowanie odpowiednich obszarów.