Logo Serwisu Media Nauka


Podział odcinka

Twierdzenie Twierdzenie

Każdy odcinek można podzielić na dowolną liczbę równych części z użyciem cyrkla i liniału.

Sposób postępowania ilustruje poniższa animacja.

Pobierz odtwarzacz Adobe Flash Player

Podział odcinka - ujęcie analityczne

Dany jest odcinek \overline{AB} i dowolny punkt P, który dzieli ten odcinek w pewnym stosunku. Używając zapisu wektorowego zapiszemy to następująco: \vec{AP}=t\vec{AB}, \ 0\leq t<1. Jeżeli współrzędne punktów oznaczymy następująco: A=(x_A,y_B), B=(x_B,y_B), P=(x,y), to otrzymujemy:

x-x_A=t(x_B-x_A)\\ y-y_A=t(y_B-y_A)\\ 0\leq t<1

Jest to tak zwane równanie parametryczne odcinka.

Środek odcinka

Teoria Aby wyznaczyć współrzędne środka S=(x,y) odcinka, skorzystamy z powyższego wzoru:

\vec{AS}=\frac{1}{2}\vec{AB}

Mamy tutaj t=\frac{1}{2}. Równanie odcinka przyjmuje postać:

x-x_A=\frac{1}{2}(x_B-x_A),\ \ \  y-y_A=\frac{1}{2}(y_B-y_A)\\ x=\frac{1}{2}x_B-\frac{1}{2}x_A+x_A,\ \ \  y=\frac{1}{2}y_B-\frac{1}{2}y_A+y_A\\ x=\frac{1}{2}x_B+\frac{1}{2}x_A,\ \ \  y=\frac{1}{2}y_B+\frac{1}{2}y_A

W ten sposób otrzymujemy współrzędne środka odcinka:

x=\frac{x_A+x_B}{2}, \ \ \ y=\frac{y_A+y_B}{2}

Przykład Przykład

Dane są punkty A=(1,3) i B=(3,7). Wyznaczyć współrzędne środka odcinka.

Korzystamy z powyższego wzoru:

x=\frac{1+3}{2}=2, \ \ \ y=\frac{3+7}{2}=5

Złoty podział odcinka

Teoria Złoty podział odcinka jest to podział odcinka na takie dwie części, że mniejsza do większej ma się tak, jak większa część do długości całego odcinka. Większa część odcinka jest nazywana złotą częścią.

Wprowadźmy oznaczenia jak na poniższym rysunku:

złoty podział odcinka

Zgodnie ze złotym podziałem następujące stosunku długości są równe:

a:b=(a+b):a

Mamy więc:

\frac{a}{b}=\frac{a+b}{a}\\ \frac{a}{b}=1+\frac{b}{a}

Oznaczmy stosunek a:b przez grecką literę \varphi. Otrzymujemy równanie:

\varphi=1+\frac{1}{\varphi}\\ \frac{\varphi^2-\varphi-1}{\varphi}=0\\ \varphi^2-\varphi-1=0\\ \Delta=5\\ \varphi_1=\frac{1-\sqrt{5}}{2}<0\\ \varphi_2=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1,618033989

Pierwszy pierwiastek jest ujemny, nie może więc stanowić złotego podziału (stosunek odległości jest zawsze liczbą dodatnią). Drugi pierwiastek jest tak zwaną złotą liczbą.

Przykład Przykład

Bok dziesięciokąta foremnego jest złotą częścią ze złotego podziału promienia okręgu opisanego na tym dziesięciokącie.

ciekawostki Ciekawostki

ilustracja

Złoty podział wykorzystuje się czasem w kompozycjach architektonicznych, malarskich, fotograficznych, itp. Znany był już w starożytności. Stosowano go np. w planach budowli na Akropolu.


© Media Nauka, 2010-12-03, ART-1037



Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.


zadanie - ikonka Zadanie 557 - twierdzenie Talesa, podział odcinka
Odcinek o długości a podzielić na dwa odcinki w stosunku 3/5.

zadanie - ikonka Zadanie 559 - środek odcinka
Punkty A=(\frac{\sqrt{5}}{5},2), \ B=(\sqrt{5},1) wyznaczają odcinek \overline{AB}. Znaleźć jego środek.

zadanie - ikonka Zadanie 560 - złoty podział odcinka
Znaleźć złoty podział odcinka o długości 10



Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy