Pomocniczy układ współrzędnych

W celu ułatwienia sobie sporządzania wykresu można wprowadzać pomocniczy układ współrzędnych, poprzez umieszczenie jego środka w punkcie \(O_1(p,q)\).
Jeżeli współrzędne dowolnego punktu we właściwym układzie współrzędnym \(XOY\) oznaczymy przez \((x,y)\), a w układzie pomocniczym \(X_1O_1Y_1\) współrzędne tego samego punktu przez \((x_1,y_1)\), to między tymi współrzędnymi zachodzi związek:

\(x=p+x_1\)

\(y=q+y_2\)

Wzór funkcji \(y=f(x)\) w nowym układzie współrzędnych przyjmuje postać: \(y_1= f(x_1)\).

Przykład

Naszkicujmy wykres funkcji \(f(x)=x^2-2x+3\), wykorzystując pomocniczy układ współrzędnych.

Funkcję tę przekształcamy jak poniżej:

\(y=(x^2-2x+1)+2\)

\(y-2=(x-1)^2\)

Kiedy wprowadzimy nowy układ współrzędnych o środku w punkcie \((1,2)\), między współrzędnymi zachodzi zależność:

\(x = x_1+ 1\)

\(y = y_1+2\)

Kiedy podstawimy tę zależność do naszego wzoru funkcji, otrzymamy wzór funkcji w pomocniczym układzie współrzędnych.

\(y_1+2-2=(x_1+1-1)^2\)

\(y_1=x_1^2\)

Wystarczy więc teraz narysować pomocniczy układ współrzędnych w punkcie \((1,2)\) i wykreślić w nim wykres funkcji \(y_1=x_1^2\)

wykres funkcji w pomiocniczym układzie współrzędnych

Warto zwrócić uwagę, że ta sama krzywa może być opisana przez różne funkcje w różnych układach współrzędnych. Poniżej kilka przykładów stosowania pomocniczych układów współrzędnych:

Przykłady

  1. Aby sporządzić wykres funkcji \(y=\frac{1}{x-1}+2\), wystarczy w układzie pomocniczym o środku \(O_1(1,2)\) sporządzić wykres funkcji \(y=\frac{1}{x}\).
  2. Aby sporządzić wykres funkcji \(y=3+sin(x-\frac{\pi}{5})\), wystarczy w układzie pomocniczym o środku \(O_1= (\frac{\pi}{5},3)\) sporządzić wykres funkcji \(y=\sin{x}\).
  3. Aby sporządzić wykres funkcji \(y=\sqrt{x+\sqrt{2}}\), wystarczy w układzie pomocniczym o środku \(O_1 = (-\sqrt{2},0)\) sporządzić wykres funkcji \(y=\sqrt{x}\).


Zadania z rozwiązaniami

zadanie maturalne

Zadanie nr 1.

Sporządzić wykres funkcji

a) \(y+2=\frac{1}{x+3}\)

b) \(y=2+\cos{(x+1)}\)

wykorzystując pomocniczy układ współrzędnych.

Pokaż rozwiązanie zadania.





Inne zagadnienia z tej lekcji


© medianauka.pl, 2009-05-24, A-217
Data aktualizacji artykułu: 2023-04-08



©® Media Nauka 2008-2023 r.