Logo Serwisu Media Nauka


Pomocniczy układ współrzędnych

Teoria W celu ułatwienia sobie sporządzania wykresu można wprowadzać pomocniczy układ współrzędnych, poprzez umieszczenie jego środka w punkcie O1(p,q).
Jeżeli współrzędne dowolnego punktu we właściwym układzie współrzędnym XOY oznaczymy przez (x,y), a w układzie pomocniczym X1O1Y1 współrzędne tego samego punktu przez (x1,y1), to między tymi współrzędnymi zachodzi związek:

x = p + x1
y = q + y1

Wzór funkcji y=f(x) w nowym układzie współrzędnych przyjmuje postać: y1 = f(x1)

Przykład Przykład

Naszkicujmy wykres funkcji f(x)=x^2-2x+3 wykorzystując pomocniczy układ współrzędnych.
Funkcję tę przekształcamy jak poniżej:

{y=(x^2-2x+1)+2}\\y-2=(x-1)^2

Kiedy wprowadzimy nowy układ współrzędnych o środku w punkcie (1,2) między współrzędnymi zachodzi zależność:

x = x1 + 1
y = y1+2

Kiedy podstawimy tę zależność do naszego wzoru funkcji, otrzymamy wzór funkcji w pomocniczym układzie współrzędnych.

{y_1+2-2=(x_1+1-1)^2}\\y_1=x_1^2

Wystarczy więc teraz narysować pomocniczy układ współrzędnych w punkcie (1,2) i wykreślić w nim wykres funkcji y_1=x_1^2

wykres funkcji w pomiocniczym układzie współrzędnych

Warto zwrócić uwagę, że ta sama krzywa może być opisana przez różne funkcje w różnych układach współrzędnych. Poniżej kilka przykładów stosowania pomocniczych układów współrzędnych:

Przykład Przykład

1) Aby sporządzić wykres funkcji y=\frac{1}{x-1}+2 wystarczy w układzie pomocniczym o środku O1(1,2) sporządzić wykres funkcji y=\frac{1}{x}

2) Aby sporządzić wykres funkcjiy=\3+sin(x-\frac{\pi}{5}) wystarczy w układzie pomocniczym o środku O1(\frac{\pi}{5},3) sporządzić wykres funkcji y=\sin{x}

3) Aby sporządzić wykres funkcji y=\sqrt{x+\sqrt{2}} wystarczy w układzie pomocniczym o środku O1(-\sqrt{2},0) sporządzić wykres funkcji y=\sqrt{x}


© Media Nauka, 2009-05-24, ART-217



Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.


zadanie - ikonka Zadanie 295 - pomocniczy układ współrzędnych
Sporządzić wykres funkcji
a) y+2=\frac{1}{x+3}
b) y=2+\cos{(x+1)}
wykorzystując pomocniczy układ współrzędnych.



Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy