Logo Serwisu Media Nauka


Prawdopodobieństwo warunkowe

Definicja Definicja

Dany jest zbiór zdarzeń elementarnych Ω, zdarzenia losowe A, B, będące podzbiorami zbioru Ω i P(B)\>0. Prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia A pod warunkiem, że zaszło zdarzenie B jest to stosunek prawdopodobieństwa iloczynu zdarzeń A i B do prawdopodobieństwa zdarzenia B. Definicję tę można wyrazić wzorem:

P(A/ B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}

Przykład Przykład

Spośród 30 uczniów w klasie matematykę lubi 20 uczniów, fizykę 10 uczniów. Trzech uczniów lubi zarówno matematykę jak i fizykę. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia, że wylosowany uczeń lubi fizykę pod warunkiem, że lubi jednocześnie matematykę?

Losujemy jednego spośród 30 uczniów. Zbiór zdarzeń elementarnych ma więc 30 elementów.

A - wylosowany uczeń lubi fizykę, B - wylosowany uczeń lubi matematykę. Mamy:

P(A)=\frac{10}{30}=\frac{1}{3}\\ P(B)=\frac{20}{30}=\frac{2}{3}

Iloczyn zdarzeń A i B oznacza takie zdarzenie, w którym uczeń lubi jednocześnie i matematykę i fizykę. Takich uczniów mamy 3. Mamy więc:

P(A\cap B)=\frac{3}{30}=\frac{1}{10}

My szukamy innego prawdopodobieństwa. Losujemy najpierw ucznia i zakładamy, że lubi on matematykę i badamy jakie jest prawdopodobieństwo tego, że lubi jednocześnie fizykę. Czyli:

P(A/ B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{10}}{\frac{2}{3}}=\frac{3}{20}

Prawdopodobieństwo całkowite

Twierdzenie Twierdzenie

Niech A_1,...,A_n oznaczają zdarzenia losowe o dodatnich prawdopodobieństwach wykluczających się parami, a suma tych zdarzeń jest zdarzeniem pewnym. Dla dowolnego zdarzenia B zachodzi zależność: (prawdopodobieństwo zupełne lub całkowite).

P(B)=P(A_1)P(B/A_1)+...+P(A_n)P(B/A_n)


© Media Nauka, 2011-08-12, ART-1415





Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy