Logo Serwisu Media Nauka


Równania trygonometryczne

Definicja Definicja

Równanie trygonometryczne jest to równanie, w którym niewiadome występują wyłącznie pod znakami funkcji trygonometrycznych.

Przykład Przykład

Oto przykłady równań trygonometrycznych:

\sin(x-2)=1\\ \frac{1}{\sin{x}}-3=\cos{x}\\ tg{4x}=0

TeoriaRozwiązaniem równania trygonometrycznego możne być kąt skierowany lub w innej interpretacji miara kąta skierowanego. Mówimy więc o dwóch interpretacjach rozwiązania równania trygonometrycznego i dwóch nowych pojęciach:

Rozwiązanie podstawowe równania trygonometrycznego jest to zbiór wszystkich kątów skierowanych spełniających dane równanie.

Rozwiązanie ogólne równania trygonometrycznego jest to zbiór wszystkich miar kątów skierowanych spełniających dane równanie.

Przykład Przykład

Rozwiążemy równanie \sin{x}=a.

Sporządzamy koło trygonometryczne:

rysunek

Jeżeli a jest liczbą mniejszą od 1 i większą od -1 (czyli |a|<1), to odpowiednia prosta (zaznaczona liczbą przerywaną na rysunku) przecina koło trygonometryczne w dwóch punktach: A1, A2, wyznaczając dwa kąty, które spełniają równanie. Kąty te można wyrazić za pomocą miary głównej. Otrzymujemy więc rozwiązanie podstawowe: x_1=\alpha \, \ x_2=180^o-\alpha.

Wszystkie miary stopniowe danego kąta otrzymamy, jeśli do miary tego kąta dodamy dowolną całkowitą wielokrotność miary kąta pełnego. Mamy więc rozwiązanie ogólne: x_1=\alpha +k\cdot 360^o \, \ x_2=180^o-\alpha+k\cdot 360^o, k\in C.

Jeżeli a>1 lub a< -1, czyli |a|>1 to równanie to nie ma rozwiązań. (odpowiednia prosta nie przecina koła trygonometrycznego (patrz rysunek).

rysunek

Jeżeli a=1, to:

rysunek

mamy wówczas jedno rozwiązanie podstawowe x=90^o i rozwiązanie ogólne: x=90^o+k\cdot 360^o,\ k\in C.

Jeżeli a=-1, to:

rysunek

mamy wówczas jedno rozwiązanie podstawowe x=-90^o i rozwiązanie ogólne: x=-90^o+k\cdot 360^o,\ k\in C.

Reasumując:

PrzypadekRozwiązanie podstawoweRozwiązanie ogólne
|a|>1brak rozwiązańbrak rozwiązań
a=1x=90^ox=90^o+k\cdot 360^o,\ k\in C
a=-1x=-90^ox=-90^o+k\cdot 360^o,\ k\in C
|a|<1x=\alpha\ \vee \ x=180^o-\alphax=\alpha+k\cdot 360^o\ \vee \ x=180^o-\alpha+k\cdot 360^o,\ k\in C

Równania elementarne

Równania:
\sin{x}=a,\ \cos{x}=a,\ tgx=a,\ ctgx=a
nazywamy równaniami elementarnymi.

Rozwiązując równania trygonometryczne staramy się doprowadzić je do równania elementarnego. Powyżej pokazano sposób rozwiązania jednego z takich równań. W praktyce należy pamiętać rozwiązania równań elementarnych.

Poniżej zostały przedstawione rozwiązania wszystkich równań elementarnych:


(\sin{x}=a \ \wedge \ |a|\leq 1) \Leftrightarrow x=x_0+2k\pi \ \vee \ x=(\pi-x_0)+2k\pi,\ k\in C
(\cos{x}=a \ \wedge \ |a|\leq 1) \Leftrightarrow x=x_0+2k\pi \ \vee \ x=-x_0+2k\pi,\ k\in C
tgx=a \Leftrightarrow x=x_0+k\pi,\ k\in C
ctgx=a \Leftrightarrow x=x_0+k\pi, ,\ k\in C

x0 - najmniejsze dodatnie rozwiązanie
Gdy |a|>1, równania sinx=a, cosx=a nie mają rozwiązania.

Rozwiązania powyższe dobrze widać na wykresie:

graficzne rozwiązanie równania sinx=a

graficzne rozwiązanie równania cosx=a

graficzne rozwiązanie równania tgx=a

graficzne rozwiązanie równania ctgx=a

© Media Nauka, 2011-05-29, ART-1330



Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.


zadanie - ikonka Zadanie 759 - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie:
a) tg2x=1
b) \sqrt{2}\sin{2x}=1

zadanie - ikonka Zadanie 763 - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie:
a) ctg3x=\sqrt{3}
b) 2\cos{3x}=\sqrt{2}
c) \cos{5x}=\sqrt{2}

maturalne zadania zadanie - ikonka Zadanie maturalne nr 4, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Równanie 2sinx+3cosx=6 w przedziale (0,2π)

A. nie ma rozwiązań rzeczywistych.
B. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.
C. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.
D. ma więcej niż dwa rozwiązania rzeczywiste.



Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy