Równania z wartością bezwzględną

Równania z wartością bezwzględną to takie równania, w których niewiadoma znajduje się pod wartością bezwzględną. Tutaj zajmiemy się wyłącznie równaniami pierwszego stopnia.

Rozwiązywanie równań z wartością bezwzględną

Rozwiązywanie równania z wartością bezwzględną wymaga rozpatrywania kilku przypadków. Wynika to bezpośrednio z definicji wartości bezwzględnej.
Zgodnie z definicją:

\(|x|=\begin{cases}x \text{ dla } x\geq 0 \\ -x \text{ dla } x<0\end{cases}\)

Należy więc rozpatrzyć co najmniej dwa przypadki.

Przykład 1

Rozwiązać równanie: \(|x|-1=0\).

1) Dla \(x\geq{0}\) mamy \(|x|=x\), więc:

\(|x|-1=0\Rightarrow{x-1=0}\Leftrightarrow{x=1}\)

Spełnione jest założenie, więc liczba 1 jest pierwiastkiem równania.

2) Dla \(x<0\) mamy z definicji wartości bezwzględnej \(|x|=-x\), więc:

\(|x|-1=0\Rightarrow{-x-1=0}\Leftrightarrow{x=-1}\)

Spełnione jest założenie (\(x<0\)), więc liczba \(-1\) jest pierwiastkiem równania.

Odpowiedź: Pierwiastkami równania \(|x|-1=0\) są liczby \(-1\) i \(1\).

Naszkicujmy wykres funkcji \(y=|x|-1\).

wykres funkcji y=|x|-1

Jak widać, wykres tej funkcji ma dwa miejsca zerowe, są to jednocześnie pierwiastki rozpatrywanego równania.

Przykład 2

Rozwiązać równanie: \(|x|+1=0\).

1) Dla \(x\geq{0}\) mamy \(|x|=x\), więc:

\(x+1=0\)

\(x=-1\)

Niestety nie jest spełnione założenie \(x\geq{0}\), więc liczba -1 nie jest pierwiastkiem równania.

2) Dla \(x<0\) mamy z definicji wartości bezwzględnej \(|x|=-x\), więc:

\(-x+1=0\)

\(x=1\)

Nie jest spełnione założenie (\(x<0\)), więc liczba 1 nie jest pierwiastkiem równania.

Odpowiedź: Równanie nie ma rozwiązań; jest sprzeczne.

Naszkicujmy wykres funkcji \(y=|x|+1\).

wykres funkcji y=|x|-1

Jak się należało spodziewać, wykres tej funkcji nie ma miejsc zerowych.

W przypadku gdy pod wartością bezwzględną znajduje się całe wyrażenie zawierające zmienną, rozpatrujemy przypadki, gdy całe to wyrażenie przyjmuje różne znaki. Ilustruje to poniższy przykład.

Przykład 3

Rozwiązać równanie: \(|x+1|+x=1\)

1) Dla \(x+1\geq{0}\Leftrightarrow{x\geq{-1}}\) otrzymujemy równanie:

\(x+1+x=1\)

\(2x=0\)

\(x=0\)

2) Dla \(x+1<0\Leftrightarrow{x<-1}\) otrzymujemy równanie:

\(-x-1+x=1\)

\(-1=1\)

Otrzymaliśmy sprzeczność.

Odpowiedź: Równanie ma jeden pierwiastek \(x=0\).

Równanie z dwiema wartościami bezwzględnymi

Jeżeli w równaniu pojawia się więcej wartości bezwzględnych, np. \(|x+1|-x=|x|-1\), wówczas musimy rozpatrywać odpowiednio więcej przypadków (kiedy obie wartości pod wartościami bezwzględnymi są ujemne, obie dodatnie oraz jedna z nich dodatnia, druga ujemna i odwrotnie). Poniżej zamieszczamy kilka zadań z rozwiązaniami, na których przykładach można prześledzić proces rozwiązywania takich równań.



Zadania z rozwiązaniami

zadanie maturalne

Zadanie nr 1.

Rozwiązać równanie \(|x+1|-|x-1|=5\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 2.

Rozwiązać nierówność \(2-|x+1|>3+x\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 3.

Rozwiązać nierówność \(|2x+1|>3\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 4.

Rozwiązać równanie \(|-3x+1|=2x+4\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 5.

Rozwiązać równanie \(\frac{|x|}{3}-1=2x\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 6 — maturalne.

Dana jest funkcja \(f\) określona wzorem

\(f(x)=\begin{cases}x-2 \quad dla \quad x\leq0\\||x+3|-4| \quad dla \quad x>0 \end{cases}\).

Równanie \(f(x)=1\) ma dokładnie

A. jedno rozwiązanie.

B. dwa rozwiązania.

C. cztery rozwiązania.

D. pięć rozwiązań.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 7 — maturalne.

Rozwiąż równanie \(3|x+2|=|x−3|+11\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 8 — maturalne.

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(a\), dla których równanie \(|x−5|=(a−1)^2−4\) ma dwa różne rozwiązania dodatnie.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 9 — maturalne.

Liczba różnych pierwiastków równania \(3x+|x-4|=0\) jest równa

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 10 — maturalne.

Rozwiąż równanie: \(|x−3|=2x+11\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 11.

Dany jest wektor \(\vec{AB}=[2,5]\) zaczepiony w punkcie \(A=(1,1)\). Znaleźć taki punkt \(C\), leżący na prostej \(y=2\), że pole trójkąta \(ABC\) jest równe 10.

Pokaż rozwiązanie zadania.





Inne zagadnienia z tej lekcji


© medianauka.pl, 2009-06-26, A-249
Data aktualizacji artykułu: 2023-05-03



©® Media Nauka 2008-2023 r.