Rozwiązywanie układu równań

Metoda przeciwnych współczynników

Jedną z metod rozwiązywania układów równań jest metoda przeciwnych współczynników, która polega na takim pomnożeniu obu stron jednego lub obu równań przez liczbę różną od zera, żeby otrzymać liczby przeciwne przy jednej z niewiadomych i dodaniu do siebie obu równań. Układ złożony z jednego równania i sumy obu równań jest układem równoważnym do danego.

Poniższa animacja ilustruje opisywaną wyżej metodę rozwiązywania układu równań.

Animacja

A oto inny przykład:

Przykład

$\begin{cases} x-y=0\\y-x=1 \end{cases}\\{\begin{cases}x-y=0\\\underline{-x+y=1}\end{cases}}\\{\quad \quad 0=1}$
Rozpatrywany układ jest układem równań sprzecznych.

Przykład

$\begin{cases}x-y=0/\cdot(-2)\\2x-2y=0\end{cases}\\{\begin{cases}-2x+2y=0\\ \underline{2y-2y=0}\end{cases}}\\{\quad \quad 0=0}$
Rozpatrywany układ jest układem równań zależnych.

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1.

Rozwiązać układ równań metodą przeciwnych współczynników:
a) $\begin{cases} \frac{1}{2}x-2=y\\ \frac{1}{3}x+3=\frac{1}{4}y \end{cases}$
b) $\begin{cases} 5x+5y=-7\\ -3x-2y=4 \end{cases}$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Rozwiązać układ równań metodą przeciwnych współczynników:
a) $\begin{cases} \sqrt{2}x-\sqrt{6}y=\sqrt{5}\\ 2x+4y=\sqrt{10} \end{cases}$
b) $\begin{cases} 2x+y=-\frac{1}{2}\\ -4x-2y=1 \end{cases}$
c) $\begin{cases} 3x-y=5\\-6x+2y=-1 \end{cases}$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3 — maturalne.

Proste o równaniach 2x-3y=4 i 5x-6y=7 przecinają się w punkcie P. Stąd wynika, że:

A. P=(1,2)
B. P=(-1,2)
C. P=(-1,-2)
D. P=(1,-2)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Znaleźć równanie paraboli, której fragment przedstawiono na rysunku:
parabola

Pokaż rozwiązanie zadania.

Inne zagadnienia z tej lekcji

Układ równań

Jeżeli dwa równania w układzie równań są równaniami pierwszego stopnia, to układ taki nazywamy układem dwóch równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi.

Rozwiązywanie układów równań metodą podstawiania

Metoda podstawiania polega na wyznaczeniu w jednym z równań układu jednej niewiadomej poprzez drugą i wstawieniu otrzymanego wyrażenia do drugiego równania.

Rozwiązywanie układów równań - metoda wyznaczników

Metoda wyznaczników należy do najefektywniejszych metod rozwiązywania układów równań, szczególnie z parametrem.

Test wiedzy

Sprawdź swoje umiejętności z materiału zawartego w tej lekcji.